Definition der Stetigkeit: Folgenkriterium

Question

folgende Definition der Stetigkeit einer Funktion: Folgenkriterium

$$f: D \rightarrow \mathbb{R} \text{ ist stetig in } x_0 \in D \text{ , wenn für jede Folge } (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \text{ , die gegen } x_0 \text{ konvergiert, die Folge } (f(x_k))_{k \in \mathbb{N}} \text{ gegen } f(x_0) \text{ konvergiert. Also } \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = x_0 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty} f(x_k) = f(x_0)$$

Jetzt möchte ich zeigen, dass die Funktion $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto floor(x)$$ unstetig in x0 = 1 ist. Dazu nehme ich mir eine beliebige Folge $$x_k \rightarrow 1 ~(k \rightarrow \infty)$$. Jetzt muss ja $$f(x_k) = floor( x_k ) $$ für k gegen unendlich gegen f(1) = 1 gehen. Aber das ist doch abhängig davon, von welcher Seite man sich nähert, oder?! Nähert man sich von oben, ist $$floor(x_k) \rightarrow 1~ ( k \rightarrow \infty )$$. Nähert man sich von unten, ist $$floor(x_k) \rightarrow 0~ ( k \rightarrow \infty) $$.

Ist hier also mit dieser Definition nicht entscheidbar, ob die Funktion an dieser Stelle stetig ist?

Danke,

Thilo

Answer 1

Die Frage ist eher: Auf welcher Menge (und welcher Topologie) soll dein f stetig sein. So wie es aufgeschrieben ist, wäre zu zeigen, dass die funktion auf den ganzen Zahlen stetig ist. Was schon allein deshalb problematisch, da nicht klar was diese Stetigkeit auf Z genau sein soll, sprich welche Topologie verwendet werden soll. Daher gehe ich davon aus, dass f hier als reellwertige Funktion aufgefasst werden soll; dann passt auch wieder mit der Definition.