Aufgabe:
Text erkannt:
Bestimmen Sie bitte die reelle Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen:(a) \( \frac{2-x}{-2 x}+1<-2 \)
Problem/Ansatz:
Wie bestimmt man die Lösungsmenge der Ungleichung?
(2-x)/-2x+3 <0
(2-x-6x)/-2x <0
1. Fall:
(2-7x)/-2x <0
2-7x<0 u. -2x>0
x>2/7 u. x<0 -> keine Lösung
2. Fall:
x<2/7 u. x>0 -> 0<x<2/7
L = ]0,2/7[ = (0;2/7) = {x| 0<x<2/7}
\( \frac{2-x}{-2 x}+1<-2 \)
\( \frac{2-x}{-2 x}<-3 \)|*(-1)
\( \frac{2-x}{2 x}>3 \)
1.Fall : x>0
2-x>6x → 2>7x →x<\( \frac{2}{7} \)
2.Fall : x=0 → f(x) hat dort einen Pol
3.Fall : x<0
z.B: x=-1
\( \frac{2+1}{2 }>3 \) geht nicht
Lösungsmenge: 0<x<\( \frac{2}{7} \)
Diese Antwort ist in ihrer mathematischen Stümperhaftigkeit (Fall 3) schlimmer als gar keine Antwort.
Aloha :)
Wir vereinfachen die Ungleichung zunächst soweit wie möglich ohne Fallunterscheidungen.$$\left.\frac{2-x}{-2x}+1<-2\quad\right|\text{den Bruch aufteilen}$$$$\left.\frac{2}{-2x}+\frac{-x}{-2x}+1<-2\quad\right|\text{Brüche kürzen}$$$$\left.\frac{1}{-x}+\frac{1}{2}+1<-2\quad\right|\text{Brüche addieren}$$$$\left.\frac{1}{-x}+\frac{3}{2}<-2\quad\right|-\frac{3}{2}$$$$\left.\frac{1}{-x}<-\frac72\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.\frac{1}{x}>\frac72\quad\right.$$Da \(\frac{1}{x}\) positiv sein muss, ist klar, dass \(x>0\) gelten muss. Für \(x>0\) erhalten wir durch Kehrwertbildung unseres bisherigen Ergebnisses \(x<\frac27\). Damit ist die Lösung:$$x\in\left(0\,;\;\frac27\right)$$
~plot~ (2-x)/(-2x)+1 ; -2 ; {2/7|-2} ~plot~
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