Grenzwert L'Hospital für (sin x / x^3 - (cos x)^2 / x^2)

Question

Ermitteln Sie den Grenzwert:

\( \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x^{3}}-\frac{(\cos x)^{2}}{x^{2}}\right) \)

Ich soll den Grenzwert berechnen, der Sinus-Term sieht nach l'Hospital aus allerdings den Cosinus Term nicht, darum habe ich beide erstmal auf einen Hauptnenner gebracht und mit x² gekürzt.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)}{x^{3}}-\frac{\cos ^{2}(x)}{x^{2}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)-x \cdot \cos ^{2}(x)}{x^{3}}\right) \)

Nun ist der vollständige Term soweit dass ich l'Hospital anwenden kann. Wenn ich nun ableite , bekomme ich wieder ein ungültiges Ergebnis wenn x wieder gegen Null strebt, da man ja bekanntlich nicht durch Null teilen darf. Somit bekomme ich für Zahl=1 und Nenner =0. 1/0.

\( \left(\frac{\cos (x)+2 \cos (x) \cdot \sin (x)}{3 x^{2}}\right) \)

Wo ist mein Fehler? Habe ich mich verrechnet?

Comments

warum sieht der zweite term nicht nach l'hospital aus? für x->0 steht doch eine null im nenner und das darf nicht sein. ich würde beide terme separat nach l'hospital 'behandeln', so lange ableiten, bis sich ein grenzwert bilden lässt. das geht sogar ganz gut, siehe antwort.

Answer 1

Korrigierte Rechnung:

(sin x - x cos^2 x)'/(x^3)' =
cos(x) (2 x sin(x)-cos(x)+1) / (3x^2)

(cos(x) (2 x sin(x)-cos(x)+1))' / (3x^2)' =
(-sin(x)+2 sin(2 x)+2 x cos(2 x)) / 6x
ergibt 0/0 für x->0

(-sin(x)+2 sin(2 x)+2 x cos(2 x))' / (6x)' =
(-4 x sin(2 x)-cos(x)+6 cos(2 x)) / 6

lim x->0 (-4 x sin(2 x)-cos(x)+6 cos(2 x)) / 6 =
(-4*0*sin(0)-cos(0)+6 cos(2*0)) / 6 =
(-1 + 6*1)/6 =
5/6

Comments

Hallo erstmal vielen Dank für deine Antwort. Aber mir erschließt sich noch nicht ganz warum  du die beiden Terme getrennt ableiten kannst, denn wenn x gegen 0 strebt, dann sieht eindeutig der Sinus Term nach l'Hospital aus, da Nenner als auch Zähler Null werden....,aber der Cosinus Term hingegen doch nicht, da doch Cos(0) = 1 wird , somit ergibt sich doch dann für den Cosinus Term 1/0 oder nicht ?? Ich darf doch plumb gesagt l'Hospital nur anwenden, wenn sich bei der Grenzwertbetrachtung entweder 0/0 oder unendlich/unendlich ergibt.
Besten Dank für die Antwort!

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Das geht in der Tat nicht. Du hast vollkommen Recht was die Anwendung des l'Hospital angeht. Siehe meine Antwort ;). Wird dann etwas aufwendiger^^.

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sorry, du hast völlig Recht! Ich war im Irrglauben, man könnte auch bei Ausdrücken wie 1/0 die Regel von L'Hospital anwenden.

Wir müssen also, so wie du es bereits begonnen hast, alles auf einen Hauptnenner bringen und dann so oft ableiten, bis der Nenner ungleich Null ist, wenn x gegen Null geht.

(sin x - x cos^2 x)'/(x^3)' =
cos(x) (2 x sin(x)-cos(x)+1) / (3x^2)

(cos(x) (2 x sin(x)-cos(x)+1))' / (3x^2)' =
(-sin(x)+2 sin(2 x)+2 x cos(2 x)) / 6x
ergibt 0/0 für x->0

(-sin(x)+2 sin(2 x)+2 x cos(2 x))' / (6x)' =
(-4 x sin(2 x)-cos(x)+6 cos(2 x)) / 6

lim x->0 (-4 x sin(2 x)-cos(x)+6 cos(2 x)) / 6 =
(-4*0*sin(0)-cos(0)+6 cos(2*0)) / 6 =
(-1 + 6*1)/6 =
5/6

Ich habe die zufällig richtige Antwort durch diese korrigierte Version ergänzt.

Answer 2

Hi,

Kurz eine Bemerkung zu Deiner letzten Formel -> 1/0 bedeutet dass der Grenzwert gegen Unendlich geht. Nen l'Hospital brauchts hier nicht^^.

Dein erstes geTeXte ist richtig.

Wir haben also:

$$\lim \frac{sin(x)-xcos^2(x)}{x^3}$$

l'Hospital verwenden:

$$\lim \frac{cos(x) - cos(x)^2 + 2xsin(x)cos(x)}{3x^2}$$

Da kann man direkt nochmals l'Hospital drauf anwenden:

$$\lim \frac{-sin(x) + 2cos(x)sin(x) + 2sin(x)cos(x) + 2xcos(x)^2 - 2xsin(x)^2}{6x}$$

Und ein letztes Mal (man könnte zwischendrin mal zusammenfassen. Würde die Sache erleichtern. Ich machs jetzt aber stur...da muss man wenigstens nicht denken^^.)

$$\lim \frac{-cos(x) + 4cos(2x) + 2cos(x)^2 - 4xsin(x)cos(x) - 2sin(x)^2-2xcos(x)sin(x)}{6}$$

Übrig bleiben nur die ersten drei Faktoren im Zähler. Im Limes betrachtet sind diese dann:

$$\frac56$$


Grüße

Comments

Echt, allerbesten super herzlichen Dank an dich und deine klasse Antwort! Endlich Jemand der in Foren Matheaufgaben vernünftig erklärt, selten eine so prima Antwort bekommen! Hab in deiner zweiten Zeile schon gleich meinen Fehler gefunden, ich habe falsch abgeleitet, super auführlich deine Lösung! Danke sehr!!!

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Deine lobenden Worte freuen mich. Umso mehr, dass Du Deinen Fehler gefunden hast.


Gerne ;)