Schau Dir dieses Bild mit der Geraden \(g_2\) nochmal an
Die Gerade verläuft durch die Punkte \(P_2(-1|\,-3)\) und \(Q_2(2|\,2)\). Du hast dann einen Differenzvektor (rot im Bild) berechnet, indem Du beide Punkte von einander abgezogen hast. Und einen der Punkte (hier \(P_2\)) hast Du als Stützvektor gewählt.
Es ist dabei im Prinzip egal, wie Du die Differenz bildest und welchen Punkt Du als Stützvektor wählst. Nur einmal festgelegt, musst Du dabei bleiben. Und hier kommst Du eben zu$$g_2: \quad \vec x_2(s)=\begin{pmatrix}-1\\ -3\end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix}-3\\ -5\end{pmatrix}$$mit diesem Ausdruck wird eine Menge von unendlich vielen Punkten beschrieben. Diese Punkte liegen alle auf einer Geraden - nämlich auf \(g_2\). Mit der Wahl des Wertes für den Parameter \(s\) kann man nun jeden beliebigen Punkt auf der Geraden \(g_2\) 'anfahren'.
Mit der Wahl von \(s=0\) kommt man immer zum Stützpunkt der Geraden und mit der Wahl von \(s=1\) kommt man immer an die 'Pfeilspitze' des Richtungsvektors, wenn man diesen am Stützpunkt anlegt.
Tue Dir mal selber einen Gefallen, nehme ein großes Blatt Papier (mit Kästchen) und berechne alle Punkte \(\vec x\) für \(s=-3\), \(s=-2\) usw. bis \(s=2\). Und zeichne die Punkte auf dem Paier ein. Wähle als Einheit ein Kästchen (nicht 1cm).
Der Trick bei der Schnittpunktberechnung ist nun, zwei Geraden gleich zu setzen$$\vec x_1(r) = \vec x_2(s)$$und nur dann, wenn ein Punktepaar \((r,\,s)\) diese Gleichung erfüllt, gibt es auch einen Schnittpunkt. Und es reicht dann aus, einen der Werte \(r\) oder \(s\) zu kennen und ihn in seine(!) Geradengleichung einzusetzen um den Schnittpunkt dann konkret zu berechnen.
Frag' ruhig nach, wenn noch was unklar ist.