Wieviel Stunden benötigte er für die Strecke?

Question

Aufgabe:

Durch Verbesserung im Betrieb kann ein Eisenbahnzug jetzt eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 180 km eine Zeiteinsparung von 40 min. Wieviel Stunden benötigte er für die Strecke?

Lösung: 4 h

Problem/Ansatz:

Weg = Geschwindigkeit * Zeit

180 = x * y

y = \( \frac{180}{x} \)

\( \frac{180}{x} \) * y = \( \frac{180}{x+9} \) * y + \( \frac{180}{x+9} \) * \( \frac{40}{60} \) 

Comments

V=s/t (Geschwindigkeit = Weg/Zeit)

Sei t die Zeit (in Minuten), die der Zug vor der Betriebsverbesserung gebraucht hat und V_n die Geschwindigkeit nach der Betriebsverbesserung:

V_n=180/t+9

V_n=180/(t-40)

Löse 180/t+9=180/(t-40).

(Vermutlich falsch)

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@Roland:

Bei dir kommt was Falsches raus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+180%2Ft%2B9%3D180%2F%28t-40%29

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Das hatte ich auch vermutet. Jetzt ist es gewiss.

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Statt 40 muss es 40/60 lauten. Dann passt es. :)

Du hast einmal mit Stunden (9) und einmal mit Minuten (40) gerechnet.

Also nur ein Einhéitenfehler.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+180%2Ft%2B9%3D180%2F%28t-40%2F60%29

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Danke für den Hinweis.

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Du hast einmal mit Stunden (9) und einmal mit Minuten (40) gerechnet.
Also nur ein Einhéitenfehler.

Wieso, die 9 sind doch weder Stunden, noch Minuten, sondern haben die Einheit km/h. Und zwei verschiedene physikalische Größen, nämlich Zeit und Geschwindigkeit zu addieren (t+9), ist nicht nur ein Einheitenfehler.

Unabhängig davon: Wenn im Nenner der 1. Gleichung zu t etwas addiert wird, dann muss die Geschwindigkeit doch kleiner werden und nicht größer. Nach der Vertriebsverbesserung erreicht der Zug aber eine höhere Durchschnittsgeschwindigkeit.

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Entschuldigung, ich nehme alles zurück, denn es fehlt ja die Klammer (t+9). ;-)

Answer 1

Durch Verbesserung im Betrieb kann ein Eisenbahnzug jetzt eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 180 km eine Zeiteinsparung von 40 min. Wie viel Stunden benötigte er für die Strecke?

Vorher

s = v * t =180

Nachher

s = (v + 9) * (t - 40/60) = 180

Löse das Gleichungssystem

https://www.wolframalpha.com/input/?i=v*t%3D180%2C%28v%2B9%29*%28t-40%2F60%29%3D180

Man erhält t = 4 h und v = 45 km/h

Antwort

Vorher brauchte der Zug bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h eine Zeit von 4 Stunden.

Nachher benötigt der Zug bei einer Geschwindigkeit von 54 km/h eine Zeit von 3 Stunden und 20 Minuten.

Answer 2

Aloha :)

Wir rechnen im Folgenden Geschwindigkeiten in \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) und Zeiten in \(\mathrm h\).

Die zurückgelegte Strecke ist vor und nach der Verbesserung dieselbe:$$v_1\cdot t_1=180\quad;\quad v_2\cdot t_2=180$$Nach der Verbesserung benötigt der Zug \(\frac23\,\mathrm h\) weniger Zeit und ist \(9\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) schneller:$$t_2=t_1-\frac23\quad;\quad v_2=v_1+9$$Damit können wir wie folgt rechnen:$$\left.\underbrace{v_2\cdot t_2}_{=180}=\left(v_1+9\right)\left(t_1-\frac23\right)=\underbrace{v_1\cdot t_1}_{=180}+9t_1-\frac23v_1-6\quad\right|-180$$$$\left.0=9t_1-\frac23v_1-6\quad\right|\cdot t_1$$$$\left.0=9t_1^2-\frac23\,\underbrace{v_1t_1}_{=180}-6t_1\quad\right|\text{\(v_1t_1=180\) einsetzen}$$$$\left.0=9t_1^2-120-6t_1\quad\right|\colon9$$$$\left.t_1^2-\frac23t_1-\frac{40}{3}=0\quad\right|\text{\(pq\)-Formel}$$$$t_1=\frac13\pm\sqrt{\frac19+\frac{40}{3}}=\frac13\pm\sqrt{\frac{121}{9}}=\frac13\pm\frac{11}{3}$$Da eine negative Lösung keinen Sinn macht, beträgt die alte Fahrzeit:$$t_1=\frac13+\frac{11}3=\frac{12}{3}=4$$

Comments

Für die guten Antworten vielen Dank. Ich habe es jetzt verstanden.

Answer 3

180=v*t=(v+9)*(t-2/3)

v*t= v*t+9*t -v*2/3 -6

0=9 *t -v*2/3 -6

v=1,5*(9*t -6)=13,5t-9

180=(13,5t-9)*t

13,5t²-9t-180=0

t²-2/3*t-40/3=0

Mit Lösungsformel:

(t₁=-10/3  negative Lösung entfällt!)

t₂=4

Answer 4

vorher:

v*t= 180

v= 180/t

nachher:

(v+9)*(t-40/60) = 180

(180/t+9)*(t-2/3) = 180

180 - 120/t +9t-6= 180

-120/t+9t-6=0

-120+9t^2-6t= 0

t^2-2/3*t-120/9 = 0

t= 4

v= 45km/h (vorher)

v= 54km/h (nachher)