Aloha :)
$$f(x)=2\ln\left(x^2+3\right)-x$$$$f'(x)=\frac{4x}{x^2+3}-1$$$$f''(x)=\frac{4(x^2+3)-4x\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{12-4x^2}{(x^2+3)^2}$$
Kandidaten für Extrema sind die Stellen, bei denen die erste Ableitung verschwindet:
$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{4x}{x^2+3}-1=\frac{4x-x^2-3}{x^2+3}=-\frac{(x-1)(x-3)}{x^2+3}$$Die Kandidaten sind also:$$x_1=1\quad;\quad x_2=3$$
Die Art des Extremums folgt mit der zweiten Ableitung:
$$f''(1)=\frac{12-4}{(1+3)^2}>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$$$f''(3)=\frac{12-36}{(1+3)^2}<0\quad\implies\quad\text{Maximum}$$
~plot~ 2*ln(x^2+3)-x ; {1|2*ln(4)-1} ; {3|2*ln(12)-3} ; [[0|5|0|3]] ~plot~