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Aufgabe:

Gegeben ist der Punkt A=(1, 2, 0) sowie die Ebene  

E: x= [ 2, 0, 0 ]+p[ 2 , 0 , 1]+u [ 0 , 1 ,1 ]


a) Zeigen Sie, dass n= [1, 2, -2 ]^T ein Normalenvektor von E ist und geben Sie eine Gleichung von E in parameterfreier Form an.

b) Es sei g die Gerade, die den Punkt A enhält und senkrecht zu E verläuft.
i)Geben Sie für g eine Gleichung in Parameterform an und bestimmen Sie den Punkt an dem g die Ebene E schneidet.
ii)Bestimmen Sie den Punkt den man erhält wenn man A an der Ebene E spiegelt.

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Aloha :)

zu a) Es reicht zu zeigen, dass der Vektor \(\vec n=(1;2;-2)\) senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht:

$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=2+0-2=0\quad\checkmark$$$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=0+2-2=0\quad\checkmark$$Mit dem Aufpunkt \((2;0;0)\) der Ebene und deren Normalenvektor \(\vec n=(1;2;-2)\) können wir die Ebenengleichung wie folgt formulieren:$$\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad x+2y-2z=2$$

zu b1) Die Geradengleichung können wir sofort angeben:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\lambda\\2+2\lambda\\-2\lambda\end{pmatrix}$$Den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene finden wir durch Einsetzen der Koordinaten von \(g\) in die Koordinatenform der Ebene:$$2=\underbrace{(1+\lambda)}_{=x}+2\underbrace{(2+2\lambda)}_{=y}-2\underbrace{(-2\lambda)}_{=z}=5+9\lambda\quad\implies\quad\lambda=-\frac13$$Der Schnittpunkt liegt also bei \(\quad S\left(\frac23\big|\frac43\big|\frac23\right)\)

zu b2) Da wir den Schnittpunkt \(S\) von Gerade und Ebene schon kennen, können wir den gespiegelten Punkt \(A\) sofort hinschreiben:

$$\vec a'=\vec a+2\cdot\overrightarrow{AS}=\vec a+2(\vec s-\vec a)=2\vec s-\vec a=\begin{pmatrix}\frac43\\[1ex]\frac83\\[1ex]\frac43\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac13\\[1ex]\frac23\\[1ex]\frac43\end{pmatrix}$$Der gespiegelte Punkt ist also: \(\quad A'\left(\frac13\big|\frac23\big|\frac43\right)\)

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