Bijektivität, Injektivität usw.

Question

D → ℝ

Ich habe die Funktionen log(x) und x².

Nun soll ich den Definitionsbereich und Bild angeben. Außerdem soll ich sagen ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Ich habe einen Lösungsansatz, weiß aber nicht ob das stimmt...

 

log(x)

Definitionsbereich würde ich jetzt ℝ sagen, in der Lösung steht aber ℝ⁺. Was auch immer das heißt... Kann mir das jemand erklären?

Bild weiß ich nicht. In der Lösung steht ℝ.  Ich verstehe das noch nicht zu 100% mit dem Bild. Muss ich da für x nicht irgendwelche Zahlen einsetzen und schauen in welchem Zahlenbereich ich lande?

Wie schaue ich nun ob log(x) in-, sur- und/oder bijektiv ist?

 

Dieselbe Verwirrung herrscht bei mir auch bei

x²

Müsste der Definitionsbereich nicht ℝ sein? Beim Bild habe ich wieder leider keine Ahnung. In der Lösung steht das Bild sei ℝ⁺₀ Was auch immer das heißen soll... ℝ sind ja eigentlich die rellen Zahlen, aber das Plus und die Null verwirren mich...

Und auch hier, wie schaue ich ob es in-, sur- und/oder bijektiv ist?

Answer 1

R⁺ bedeutet: positive reelle Zahlen

R⁺₀ bedeutet : nichtnegative reelle Zahlen, dass sind also die positiven reellen Zahlen zzgl. der Null.

 

log ( x ) ist nur für x aus den positiven reellen Zahlen definiert, also D = R⁺

Als Bild einer Funktion bezeichnet man die Menge der Funktionswerte der Funktion.

Bild ( log ( x ) ) ist R, da jede reelle Zahl ein möglicher Funktionswert von log ( x ) ist.

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird,
Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau einmal als Funktionswert angenommen wird. Genau dann ist die Funktion auch auf ihrem gesamten Definitionsbereich umkehrbar.

log ( x ) ist bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv, denn jedes Element aus ihrem Bildbereich R wird genau einmal als Funktionswert angenommen. Daher ist log ( x ) auf ihrem gesamten Definitionsbereich R⁺ umkehrbar.

 

Der Definitionsbereich von f ( x ) = x ² ist R, also D = R

Bild ( f ( x )  ) = R⁺₀ , da nur die nichtnegativen reellen Zahlen mögliche Funktionswerte von f ( x ) sind. Das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl ist positiv oder gleich 0

f ( x ) = x ² ist surjetiv (jeder Wert aus ihrem Bildbereich R⁺₀ wird mindestens einmal angenommen) aber nicht injektiv, denn alle Werte (bis auf die Null) aus ihrem Bildbereich R⁺₀ werden zweimal angenommen. So ist z.B. der Wert 4 Funktionswert von sowohl - 2 als auch 2. Daher ist f ( x ) = x ² auch nicht bijektiv und damit nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich R umkehrbar (sondern nur auf entweder R⁺₀ oder R^-₀).