Wie löst man diese Bruchgleichung auf?

Question

Aufgabe:

X^2-2/x^2+2 = 0,3

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Gleichung auf? Ich suche Schnittpunkte von einem Graphen und einer Gerade

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Ich suche Schnittpunkte von einem Graphen und einer Gerade

In der Tat:

Answer 1

x² - 2/x² + 2 = 0,3             - 0,3

x² - 2/x² + 1,7 = 0             * x²

x⁴ - 2 + 1,7x² = 0              u = x²

u² + 1,7u - 2 = 0               quadratische Gleichung lösen

u₁ = - 5/2

u₂ = 4/5                            Rücksubstitution x = ± \( \sqrt{u} \)

x₁ = 2/\( \sqrt{5} \)

x₂ = -2/\( \sqrt{5} \)

Answer 2

Weg ohne Substitution:

\( x^{2} \)-\( \frac{2}{x^2} \) +2 = 0,3

\( x^{2} \)-\( \frac{2}{x^2} \)  = -1,7

\( x^{4} \)-1,7\( x^{2} \)=2

quadratische Ergänzung:

(\( x^{2} \)-0,85)^2=2+\( 0,85^{2} \)=2,7225|\( \sqrt{} \)

1.)\( x^{2} \)-0,85=\( \sqrt{2,7225} \)=1,65

   \( x^{2} \)=1,65+0,85=2,5|\( \sqrt{} \)

    x₁≈1,58

    x₂≈-1,58

    Diese Nullstellen liegen in ℝ

2.)\( x^{2} \)-0,85=\( \sqrt{2,7225} \)=-1,65

  \( x^{2} \)=-1,65+0,85=-0,8|\( \sqrt{} \)

   Die beiden Lösungen liegen in ℂ

     \( x^{2} \)=-1,65+0,85=-0,8=0,8*i^2|\( \sqrt{} \)

      x₃=i*\( \sqrt{0,8} \)

      x₄=-i*\( \sqrt{0,8} \)

Comments

Die quadratische Ergänzung scheint in solchen Fällen ein

Auslaufmodell zu sein. Man trifft sie kaum nicht an.

Fast nur noch bei der Scheitelbestimmung von Parabeln.

Answer 3

Wenn  keine Klammern fehlen, hat döschwo recht. Sollte aber (X²-2)/(x²+2) = 0,3 gemeint sein, sind die Lösungen x_1/2=±\( \frac{\sqrt{182}}{7} \).