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a) f(x)=3e3x

b) g(x)=6e3x+1

c) h(x)=2xe-x+2

Bitte mit Rechenweg! Ich verstehe das kaum! bzw. gleich Null! 

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Hi,

Die e-Funktion ändert sich nie. Allerdings muss bei der Ableitung ja die Kettenregel berücksichtigt werden, heißt, dass die Ableitung des Exponenten nach unten kommt. Dem muss bei der Stammfunktion natürlich entgegengewirkt werden, weswegen die Ableitung in den Nenner kommt:


a) f(x) = 3e^{3x}

F(x) = 3/3*e^{3x} + c = e^{3x} + c


b) g(x) = 6e^{3x+1}

G(x) = 6/3*e^{3x+1} = 2e^{3x+1}


c) Hier kann auf die partielle Integration zurückgreifen:

∫fg' = fg - ∫f'g

Die 2 kann man zuvor rausziehen, dann wäre f = x und g' = e^{-x+2} eine gute Wahl

Insgesamt komme ich auf

H(x) = 2(1-x)e^{-x+2} + c


Grüße
Avatar von 141 k 🚀
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a)  ∫ 3 e 3 x  d x

Der Integrand hat die Form

u ' ( x ) * e u ( x )

Das aber ist gerade die Ableitung von e u ( x )  . Also:

F ( x ) = e 3 x + C

 

b) ∫ 6 e 3 x + 1 d x 

= ∫ 2 * 3 * 6 e 3 x + 1 d x

= 2 * ∫ 3 e 3 x + 1  d x

Wieder hat der Integrand hat die Form

u ' ( x ) * e u ( x ) , also:

G ( x ) = 2 * e  3 x + 1 + C

 

c) ∫ 2 x e - x + 2 d x

= ∫ 2 * e 2 * x * e - x d x

= 2 e 2 ∫ x e - x d x

Partielle Integration:

= 2 e 2 [ x * ( - e - x ) - ∫ - e - x d x ]

= 2 e 2 [ x * ( - e - x ) - e - x ]

= 2 e 2 ( - e - x )  ( x + 1 )

= - 2 e - x + 2  ( x + 1 ) + C

Avatar von 32 k

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