Aloha :)
Jetzt habe ich die Aufgabe verstanden. Du sollst das Obeflächenelemt der Mantelfläche bestimmen.
$$\vec x(\varphi,t)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\t\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\;;\;t\in[0;1]$$Dazu überlegst du dir mit der Kettenregel, wie sich \(\vec x\) bei infinitesimalen Änderungen seiner Variablen ändert:
$$d\vec x(\varphi,t)=\frac{\partial\vec x}{\partial \varphi}\,d\varphi+\frac{\partial\vec x}{\partial t}\,dt$$Daraus kannst du zwei infinitesimale Vektoren ablesen, die tangential zu der Oberfläche an der Stelle \((\varphi,t)\) verlaufen. Der Vektor \(d\vec O\) des Obeflächenelementes steht senkrecht auf diesen beiden:$$d\vec O=\left(\frac{\partial\vec x}{\partial \varphi}\,d\varphi\right)\times\left(\frac{\partial\vec x}{\partial t}\,dt\right)=\left(\frac{\partial\vec x}{\partial \varphi}\times\frac{\partial\vec x}{\partial t}\right)d\varphi\,dt$$Da das Kreuzprodukt antisymmetrisch ist \((b\times a)=-(a\times b)\), hängt das Vorzeichen des Normalenvektors \(d\vec O\) von der Reihenfolge der beiden Vektoren ab. Das ist auch klar, denn der Normalenvektor \(d\vec O\) kann in die Fläche hinein oder aus der Fläche heraus zeigen. Die Konvention ist, dass man das Vorzeichen so wählt, dass der Normalenvektor nach außen zeigt.
Nun können wir \(d\vec O\) konkret berechnen:$$d\vec O=\left(\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)d\varphi\,dt=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\,dt$$
