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Aufgabe:

Zeichnen Sie den Graphen von f: x↦1/2x2+1/2x-3/2|x|

Ergebnis: f1: x↦1/2x2-x und f2: x↦1/2x2+2x

Diesen Teil verstehe ich und ich komme auf diese Lösung. Das Problem ist bei der Zeichnung. Es sind beides Parabeln und ich verstehe nicht wie ich auf S1(1,-1/2) und S2(-2,-2) kommen soll. Im Buch steht mit Nullstellen und Scheitels, kann mir jemand die Schritte erklären für die S.

Danke

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Aloha :)

$$f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}-\frac32|x|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{2}-x&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac{x^2}{2}+2x&\text{für }x<0\end{array}\right.$$Bis dahin, schreibst du, bist du gekommen.

Jetzt kannst du die beiden Darstellungen in die Scheitelpunktform bringen. Dazu klammerst du den Vorfaktor aus:$$\frac{x^2}{2}-x=\frac12\left(x^2-2x\right)\quad;\quad\frac{x^2}{2}+2x=\frac12\left(x^2+4x\right)$$Dann nimmst du die Zahl vor dem \(x\), halbierst diese und quadierst sie danach. Das Vorzeichen ist egal, es fällt durch das Quadrieren weg. Im ersten Fall wird aus der \(2\) dann \(\left(\frac22\right)^2=1\). Im zweiten Fall wird aus der \(4\) dann \(\left(\frac42\right)^2=4\). Dies nennt man die "quadratische Ergänzung". Diese baust du nun in die Klammer ein, indem du sie addierst und direkt wieder subtrahierst (sonst würde sich ja der Wert ändern):$$\frac12(x^2-2x+\underbrace{1-1}_{=0})\quad;\quad\frac12(x^2+4x+\underbrace{4-4}_{=0})$$Jetzt ziehst du den letzen Summanden aus der Klammer raus:$$\frac12(x^2-2x+1)-\frac12\quad;\quad\frac12(x^2+4x+4)-2$$und kannst nun die Klammer mit Hilfe einer binomsichen Formel als Quadrat schreiben:$$\frac12(x-1)^2-\frac12\quad;\quad\frac12(x+2)^2-2$$Damit lautet unsere Funktion in der Punkt-Scheitel-Form:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac12(x-1)^2-\frac12&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac12(x+2)^2-2&\text{für }x<0\end{array}\right.$$

Du kannst nun die beiden Scheitelpunkte bequem ablesen:

$$S_1\left(1\bigg|-\frac12\right)\text{ für }x\ge0\quad;\quad S_2\left(-2\bigg|-2\right)\text{ für }x<0$$

~plot~ x^2/2+x/2-3/2*abs(x) ; {-2|-2} ; {1|-0,5} ~plot~

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DANKE!

Kurze Frage, was meinst du mit bequem ablesen? checke immer noch nicht so ganz wie du auf die Scheitelpunkte kamst. Hast du eine Formel angewendet? x eingesetzt?

irgendwie von der Grafik abgelesen?

Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen: Die Funktion

        \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)

hat den Scheitelpunkt \((d| e)\).

Das liegt daran, dass \(n(x) = x^2\) den Scheitelpunkt bei \((0|0)\) hat und \(f\) aus \(n\) hervorgeht mittels folgender Transformationen

  1. Horizontale Verschiebung um \(d\)
  2. Streckung mit dem Streckfaktor \(a\)
  3. Vertikale Verschiebung um \(e\)
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\(f=f_2\) auf dem Intervall \((-\infty,0)\) und

\(f=f_1\) auf dem Intervall \([0,\infty)\).

Also \(f(1)=f_1(1)=1/2-1=-1/2\) und \(f(-2)=f_2(-2)=2-4=-2\).

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