0 Daumen
805 Aufrufe

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle n ∈ N die Gleichheit

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{1/(k(k+1))} \)  = \1-1/(n+1)

indem Sie den Ausdruck \( \frac{1}{k(k+1)} \)  in die Form \( \frac{A}{k} \) + \( \frac{B}{k+1} \) zerlegen und mittels Indextransformation die Identität direkt nachweisen.


Problem/Ansatz:

\( \frac{1}{k} \) + \( \frac{-1}{k+1} \)


So weit bin ich gekommen... Aber jetzt bin ich ratlos. Tipps?

Avatar von

Vielleicht solltest du zunächst die Aufgabe richtig wiedergeben.

Ist sie ? :(

Ich sehe keine "Gleichheit"!

Ach sorry du hast Recht!

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

$$  \sum_{k=1}^n \frac{ 1 } { k(k+1) } = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} = 1 - \frac{1}{n+1}$$

Avatar von 39 k

Kannst du deine Schritte erklären? Ich komme da nicht mit

Bei welchem Schritt hakt es?

Wieso hast du die Summen auseinander gezogen und wo kommt die 1 her?

Ich habe die erste Summen zerlegt in den Term, der mit \( k = 1 \) beginnt, aslo \( 1 \), und den Rest und die zweite Summe fängt ja mit \( \frac{1}{2} \) an, deshalb habe ich mit \( k= 2 \) die Summierung begonnen und dafür aber \( \frac{1}{k} \) eingesetzt.

Ich habe es gerafft :D Danke! Aber wie soll ich darauf kommen...

Ja danke bin bei längerem Betrachten von selbst drauf gekommen! Aber ohne deine Lösung wäre ich nicht drauf gekommen!!

Übung macht den Meister

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community