Vektoren (Skalar oder Vektor?)

Question

Aufgabe:

Sei A ein Vektor aus ℝ (hoch n). Dieser Vektor wird k-1 (k ist ein Element von den natürlichen Zahlen) mal mit sich selbst multipliziert. Überlege, ob das Ergebnis ein Vektor oder ein Skalar ist.

z.B: k=2

z.B: k= 122 221

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand sagen, wie ich das angehen soll? Ich verstehe nicht ganz wie ich herausfinden soll, ob es ein Skalar ist oder ein Vektor bzw. Wie ich das rechnen soll…

Comments

Was soll "mit sich selbst multipliziert" bedeuten?

Ist da das Skalarprodukt gemeint?

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Gute Frage, ich weiß es leider nicht. Ich weiß allgemein nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll/ kann.

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Nehmen wir mal an, dass es sich um das Skalarprodukt handelt,

dann ist \(v\cdot v\) ein Skalar, aber

\(v\cdot v\cdot v=(v\cdot v)v\) ein Vektor (Skalar mal Vektor=Vektor).

Vielleicht ist das ja so gemeint.

Dann käme bei gerade vielen "Faktoren" ein Skalar heraus,

bei ungerade vielen ein Vektor ...

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Könnten Sie das bitte anhand dem Bsp: k=2 einmal vorzeigen („gerade“) und anhand dem bsp k= 3 („ungerade“) :)

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Hallo

nimm irgendeinen Vektor aus R^3 oder R^2 , multiplizier ihn skalar mit sich selbst, dann das Ergebnis mit dem Vektor.  das muss dir niemand zeigen!

lul

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Diese beiden Fälle habe ich doch bereits besprochen:

k=2: \(v\cdot v\) ist eine Skalar, deswegen heißt es ja auch SKALAR-Produkt:

\(v=(v_1,\cdots,v_n)\Rightarrow v\cdot v=v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2\).

k=3: \((v\cdot v)v=(v_1^2+\cdots+v_n^2)(v_1,\cdots,v_n)=\)

\(=((v_1^2+\cdots+v_n^2)v_1,\cdots,(v_1^2+\cdots+v_n^2)v_n)\).

Im übrigen muss ich lul Recht geben ...

Answer 1

1. Berechne \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Was ist \(k\) in diesem Fall?
   
2. Multipliziere das Ergebnis der Multiplikation aus 1. mit \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Was ist \(k\) in diesem Fall?
3. Multipliziere das Ergebnis der Multiplikation aus 2. mit \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Was ist \(k\) in diesem Fall?
4. ...
   

So lange bis du eine Regel gefunden hast ob es sich um ein Skalar oder einen Vektor handelt.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Schauen wir uns doch mal ein \(\vec a\in\mathbb R^n\) an. Diesen Vektor multiplizieren wir nun \(k\)-mal skalar mit sich selbst. Dabei unterscheiden wir, ob \(k\) gerade oder ungerade ist.

1. Fall: \(k\) ist gerade.

Es gibt eine Darstellung \(k=2m\) mit \(m\in\mathbb N_0\) und wir können schreiben:$$\left(\vec a\right)^k=\left(\vec a\right)^{2m}=\left(\left(\vec a\right)^2\right)^m=\left(\left|\vec a \right|^2\right)^m=\left|\vec a\right|^{2m}=\left|\vec a\right|^k\in\mathbb R$$

2. Fall: \(k\) ist ungerade.

Es gibt eine Darstellung \(k=2m+1\) mit \(m\in\mathbb N_0\) und wir können schreiben:$$\left(\vec a\right)^k=\left(\vec a\right)^{2m+1}=\left(\vec a\right)^{2m}\cdot\vec a\stackrel{\text{(1. Fall)}}{=}\left|\vec a\right|^{2m}\cdot\vec a\in\mathbb R^n$$

Wenn man einen Vektor also eine gerade Anzahl oft mit sich selbst (skalar) multipliziert, erhält man einen Skalar. Tut man dies eine ungerade Anzahl oft, erhält man einen Vektor.