Einheiten sind Elemente eines Ringes, die ein multiplikatives Inverses haben
Zu a+bi ist das
(a-bi) / (a^2 + b^2 ) = \(\frac{a}{a^2+b^2}- \frac{b}{a^2+b^2}\cdot i \)
jedenfalls, wenn nicht a=b=0 gilt,
aber das wäre ja das 0-Element des Ringes, das ist nie eine Einheit.
Da aber a und b aus Z sind, muss also noch gelten
a^2 + b^2 ist Teiler von a und a^2 + b^2 ist Teiler von b.
Das gilt z.B. bei 1+i nicht, also ist das keine Einheit.
Da also nicht jedes von 0 verschiedene Element eine
Einheit ist, ist Z[i] auch kein Körper. Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Zahl#Definition
