.G = {f|f : X → X Funktion} auf einer nichtleeren Menge X und ◦ als Komposition von Funktionen
Abgeschlossenheit: Komposition von Funktionen von X nach X gibt wieder eine
Funktion von X nach X
Assoziativ: Gilt bei Komposition. Zeige einfach: Bei drei beliebigen Funktionen
von X nach X gilt für alle x∈X ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)
neutral. El. id:X → X mit id(x)=x für alle x∈X .
Somit Halbgruppe.
Wenn X mehr als ein Element hat, etwa a≠b beide aus X,
dann hat z.B. die Abb.f mit f(a)=f(b)=a keine Inverse, also ist es i. allg. keine
Gruppe .
Und kommutativ ist Komposition i. allg. auch nicht. Nimm zu dem f noch
g hinzu mit g(a)=g(b)=b
G= {x ∈ R :x > 1} und a ◦ b = ab − a − b + 2
Abgeschlossen: Hier musst du schauen, ob für je zwei a,b aus G,
also beide größer 1 auch a ◦ b wieder größer 1 ist.
Das kann man so begründen:
ab − a − b + 2 > 1 | +b
<=> ab − a + 2 > 1 + b | -2
<=> ab − a > b - 1
<=> a* (b-1) > b - 1
und wegen a>1 ist das erfüllt.
etc.