Hallo,
Stammfunktionen von einfachen Funktionen:
f(x)
| \( x^{2} \)
| \(x\)
| 1
| \(x^{-1}\)
| \( x^{-1} \)
| sin(x)
| cos(x)
|
F(x)
| \(\frac{1}{3}x^3\)
| \(\frac{1}{2}x^2\)
| \(x\)
| \(ln|x|\)
| \(- x^{-1} \)
| -cos(x)
| sin(x)
|
So findet man zu einer Potenzfunktion eine Stammfunktion:
1. Hochzahl plus \( 1 . \)
2. Mit dem Kehrwert der neuen Hochzahl multiplizieren.
Oder anders ausgedrückt
Zur Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{z} \) für eine rationale Zahl \( z \neq-1 \) ist \( F \) mit \( F(x)=\frac{1}{z+1} \cdot x^{z+1} \) eine Stammfunktion.
Sind \( G \) und \( H \) Stammfunktionen von \( g \) und \( h \), so gilt für zusammengesetzte Funktionen:
Funktion f
| \( f(x)=g(x)+h(x) \)
| \( f(x)=c \cdot g(x)\)
|
Stammfunktion F
| \( F(x)=G(x)+H(x) \)
| \( F(x)=c \cdot G(x) \)
|
Beispiele:
a) \( f(x)=7 x^{5}-0,5 x \)
Eine Stammfunktion von \( g \) mit \( g(x)=7 x^{5} \) ist \( G \) mit \( G(x)=7 \cdot \frac{1}{6} x^{6}=\frac{7}{6} x^{6} \)
Eine Stammfunktion von \( h \) mit \( h(x)=-0,5 x \) ist \( H \) mit \( H(x)=-0,5 \cdot \frac{1}{2} x^{2}=-\frac{1}{4} x^{2} \).
Also ist \( F \) mit \( F(x)=G(x)+H(x)=\frac{7}{6} x^{6}-\frac{1}{4} x^{2} \) eine Stammfunktion von \( f \).
b) \( f(x)=-\frac{2}{x^{3}} \)
\( f(x)=-2 x^{-3} \)
Eine Stammfunktion von \( f \) ist \( F \) mit \( F(x)=-2 \cdot\left(\frac{1}{-2} x^{-2}\right)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}} \).
c) \( f(x)=\frac{3}{\sqrt[4]{x}} \)
\( f(x)=3 \cdot x^{-\frac{1}{4}} \). Eine Stammfunktion von \( f \) ist \( F \) mit \( F(x)=3 \cdot \frac{1}{-\frac{1}{4}+1} \cdot x^{-\frac{1}{4}+1}=3 \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}=4 \sqrt[4]{x^{3}} \).
Gruß, Silvia
