Kurvenschar und Flächenintegral

Question

Aufgabe:

Gegeben ist unabhängig vom Sachzusammenhang die Kurvenschar f_k mit
f_k(x) = 0,3⋅x³ + k⋅x²        , k > 0, x ∈ ℝ

Bestimmen Sie k so, dass der Graph von f_k mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 250 FE
einschließt. (Zur Kontrolle: k = 3)

Entscheiden Sie, ob eine Halbierung von k zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist dass ich beim Ausrechnen nicht auf k=3 komme sondern komische Zahlen. Habe die Stammfunktion gebildet und dann mit 250 gleichgesetzt und trotzdem kam nicht vernünftiges raus.

Meine Grenze war von 0 bis -k/3. Da ich die gegebene Funktion mit 0 gleichgesetzt habe.

Comments

sondern komische Zahlen

Es wäre sinnvoll, wenn Du hier Deinen Rechenweg aufschreibst und sagst, wieso die Zahlen "komisch" seien.

Zu lösen ist

\( 250=\int \limits_{-\frac{10}{3} k}^{0}\left(0,3 x^{3}+k x^{2}\right) d x \)

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\( \int\limits_{0}^{\ -\frac{k}{3}} \)^{0,3⋅x^3+ k⋅x^2=250} 

^{Dann die Stammfunktion gebildet.}

^{Es kann jedoch nicht k=3 raus sondern 2100/400 k^4}

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Wie kommst du auf -\( \frac{10}{3} \)k ?

Ich hatte da was anderes raus. -\( \frac{k}{3} \)

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Ich habe es gesehen. Aber Du nennst Deinen Rechenweg nicht um auf eine Nullstelle bei -k/3 zu kommen, dann kann ich auch nicht sagen, wo der Fehler war.

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Mein Rechenwrg lautet

0,3x^3 + k*x^2 = 0

dann x^2 ausklammern

x^2 (0,3x+k) = 0

Produktregel anwenden

X^2 = 0 v 0,3x+k=0

0,3x+k=0 | - k

0,3x=-k | : 0,3

X = -k/0,3

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Also bist Du mittlerweile doch noch auf das richtige Ergebnis gekommen.

Der Satz vom Nullprodukt ist aber nicht dasselbe wie die Produktregel.

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Ich bin aber nicht auf -\( \frac{10}{3} \)k gekommen

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Vor 27 Minuten aber schon.

-k/0.3 = -10/3 k

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Ohh alles klar. Vielen Dank!

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Ich soll noch schauen, ob eine Halbierung von k auch zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Ich habe jedoch 125/8 raus.

Die Halbierung von k wäre ja 1,5

Dann habe ich das so gerechnet:

\( \int\limits_{0}^{\ - \frac{1,5}{0,3}} \) (0,3x³+1,5x²)dx

Es kam aber \( \frac{125}{8} \)

Ist das falsch ?

Weil der Flächeninhalt ja 250 beträgt

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0.3x³ + 1.5x² = 0 hat die Lösungen x₁ = -5 und x_2,3 = 0

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Ich soll aber die Halbierung von k nehmen und schauen ob dies zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Man soll da nicht die Nullstellen berechnen denke ich

Auch wenn ich die Grenzen mit -5 und 0 benutze bekomme ich 125/8 raus

Aber das ergibt keinen Sinn

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Wenn sich k ändert, ändern sich die Nullstellen und die Fläche.

Deine Aussage "Aber das ergibt keinen Sinn" ergibt keinen Sinn. Warum sollte das keinen Sinn ergeben?

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Ja aber die Aufgave lautet entscheiden Sie ob eine Halbierung von k zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Und die Halbierung von k ist ja 1,5 oder nicht ?

Ich bekomme aber nicht die häfte von 250 FE sondern 125/8 FE raus.

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Das ist ja richtig. Aber Du kommst nur darauf, wenn Du die Nullstelle bei x = -5 als untere Integrationsgrenze verwendest.

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Alles klar,

Könntest du mir eventuell noch bei meiner anderen Frage helfen bitte?

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Ja bei dir könnte ich die beste Antwort nicht vergeben, da es nur kommentiert wurde. Aber trotzdem vielen Dank für die anTworten. Hast mir echt weitergeholfen

Answer 1

\( 250=\int \limits_{-\frac{10}{3} k}^{0}\left(0,3 x^{3}+k x^{2}\right) \cdot d x=\left[\frac{3}{40} x^{4}+\frac{k}{3} x^{3}\right]_{-\frac{10}{3} k}^{0}=[0]-\left[\frac{3}{40} \cdot\left(-\frac{10}{3} k\right)^{4}+\frac{k}{3} \cdot\left(-\frac{10}{3} k\right)^{3}\right] \)

\( 250=-\left[\frac{3}{40} \cdot \frac{10000}{81} k^{4}-\frac{k^{4}}{3} \cdot \frac{1000}{27}\right]=-\frac{250}{27} k^{4}+\frac{1000}{81} k^{4}=-\frac{750}{81} k^{4}+\frac{1000}{81} k^{4}=\frac{250}{81} k^{4} \)
\( k^{4}=81 \)
\( k=3 \)

Comments

Dankeschön .

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Den letzen beiden Schritte habe ich leider nicht verstanden.

Wie kommst du auf -\( \frac{250}{27} \) k^{4 ..}usw = \( \frac{250}{81} \) k⁴

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\( \frac{250}{27} \)=\( \frac{250*3}{27*3} \)=\( \frac{750}{81} \)

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Ja genau aber ich verstehe nicht denSchritt mit 250 und - \( \frac{250}{27} \)

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-\( \frac{3}{40} \)*\( \frac{10000}{81} \)\( k^{4} \)=-\( \frac{10000}{40} \)*\( \frac{3}{81} \)\( k^{4} \)=-250*\( \frac{3}{81} \)\( k^{4} \)=-\( \frac{250}{27} \)\( k^{4} \)

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Alles klar, aber was ist mit den 250 FE muss man die nicht iwann dazu Rechen ?

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Du musst die "Gleichungskette" 250FE=....=...=...=\( \frac{250}{81} \)\( k^{4} \) nun nach \( k^{4} \) auflösen:

250=\( \frac{250}{81} \)\( k^{4} \)

1=\( \frac{1}{81} \)\( k^{4} \)

\( k^{4} \)=81

k=\( \sqrt[3]{81} \)=3

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Für gibt es dann doch 2 Lösungen.

-3 und +3

Welches kommt dann nun in Betracht ?

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\( \sqrt[3]{81} \)≠-3 , weil  \((-3)^{3} \)=-81 ist.

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Es ist die 4. Wurzel aus 81

k⁴ = 81

k= ⁴\(\sqrt{81} \)

Und der Rechner zeigt -3 und +3 als Ergebnis.

und (-3)⁴ ist auch = 81

Welche Lösung ist nun korrekt ?

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Da habe ich aus Versehen die 3.Wurzel gezogen.

fk(x) = 0,3⋅x^3 + k⋅x^2        , k > 0, x ∈ ℝ

Somit gilt k=3

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Es winkt der Nobelpreis.

Aber "beste Antwort" ist ja schon toll.

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Ach stimmt, Danke schön haha.