Max. Quadervolumen bei gegebener Summe längste + kürzeste Kante

Question

Das Problem kennen wahrscheinlich viele:

Bei Paketversendern richtet sich der Preis oft nach der Summe der längsten und kürzesten Kante, z.B. 50cm, 80cm, 120cm.

Was ist dabei das max Volumen?

Durch kurzes "im Kopf" ausprobieren bin ich bei max 80cm-Summe auf 5dm x 5dm x 3 dm = 75l gekommen.

Kleines variieren mit dem Taschenrechner ergab 5,3dm x 5,3dm x 2,7dm: 75,843l

Ich bin seit 30 Jahren raus aus der Schulmathematik und brauchte seit dem keine Extremwertberechnung mehr...

Das würde mir schwer fallen. Kann mir jemand mal den Rechenweg zeigen, und gibt es eine allgemeine Formel?

Danke schon mal

Stefan

Answer 1

L + K = 80
K = 80 - L

V = L * L * K = L * L * (80 - L) = 80 * L^2 - L^3

V' = 160 * L - 3 * L^2 = L·(160 - 3·L) = 0

L = 160/3 = 53.33333333

Allgemein

V = L * L * K = L * L * (S - L) = S * L^2 - L^3

V ' = 2 * S * L - 3 * L^2 = L * (2 * S - 3 * L) = 0

2 * S - 3 * L = 0
L = 2/3 * S


V = S * (2/3 * S)^2 - (2/3 * S)^3 = 4/27 * S^3

Comments

Bei 80 cm wäre also das max. Volumen

4/27 * 80^3 = 75851.85 ml = 75.85 l