Wird durch die Parametergleichung jeweils eine Ebene im Raum beschrieben?

Question

Aufgabe:

Überprüfen Siel Wird durch die Parametergleichung jeweils eine Ebene im Raum beschrieben?

a) \( \vec{x}=k\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
b) \( \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+\mathrm{k}\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
c) \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
d) \( \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+\mathrm{k}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, was ich hier rechnen soll. Hat jemand einen Ansatz oder eine Erklärung für mich?

Answer 1

Du musst überprüfen, ab die Richtungsvektoren einen 2-dimensionalen Raum aufspannen.

Dazu kannst du sie als Zeilenvektoren in eine Matrix schreiben.

Wenn deren Rang = 2 ist, so handelt es sich um eine Ebene.

Die Richtungsvektoren erkennst du daran, dass sie mit den skalaren

Parametern (k,t,r) multipliziert werden.