Ist wohl so: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac { 5^{k+4}} { 3^{k+2} +1} \cdot z^k $$
Mit Quotientenkriterium zu betrachten \( \frac {a_n}{a_{n+1}} \)
Das gibt
\( \frac { \frac { 5^{k+4}} { 3^{k+2} +1}} { \frac { 5^{k+5}} { 3^{k+3} +1}} = \frac {5^{k+4} (3^{k+3} + 1 )}{5^{k+5} (3^{k+2} + 1 )} = \frac {3^{k+3} + 1 }{5 (3^{k+2} + 1 )} \)
mit \( 3^{k+2} \) kürzen gibt
\( = \frac {3 + \frac {1}{3^{k+2}} }{5 (1 + \frac {1}{3^{k+2} })} \)
und für k gegen unendlich ist der Grenzwert (und
damit der Konv.rad) gleich 3/5.
Du hast bei deinem Argument übersehen, dass bei |z| < 1 der Faktor vor dem
z ruhig einen Betrag größer 1 haben kann, und es konvergiert trotzdem.