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Aufgabe: F(x)= - 1/6x^4+x^2
wie berechne ich hier die Krümmung, Monotonie, Hoch und Tiefpunkte, Terassenpunkte und Wendepunkte?

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Hallo,

Hoch- und Tiefpunkte: Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x auf. Setze deine Ergebnisse in die 2. Ableitung ein, um zu überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Monotoniekriterium:

f'(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f fällt streng monoton in I

f'(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f steigt streng monoton in I

Graphenkrümmung:

f''(x) < 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I rechtsgekrümmt

f''(x) > 0 im Intervall I ⇒ Der Graph von f ist in I linksgekrümmt

Wendepunkte:

Die erhältst du, wenn f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

Ein Terrassenpunkt ist ein besonderer Wendepunkt, bei dem auch f'(x) = 0 gilt.

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Wenn ich jetzt meine ergebnisse in die 2. ableitung einsetze wann weiß ich das es dann hoch oder tiefpunkt ist?

wenn f''(x) kleiner null, ist es ein Hochpunkt und umgekehrt

und umgekehrt stimmt nicht : Wenn es ein Hochpunkt ist, muss f"(x) durchaus nicht kleiner null sein.

Also wenns größer als 0 ist ist es ein hochpunkt wenns kleiner als 0 ist ein tiefpunkt oder?

Ich wollte damit sagen

Wenn f''(x) größer null, dann ist es ein Tiefpunkt

Und wieso ist das so?

Darüber habe ich mir bislang noch keine Gedanken gemacht, sondern es einfach freudig hingenommen, weil es mir die Arbeit mit der Monotonietabelle erspart hat.

Ein einfaches Beispiel :

Wir stellen uns eine gerade Straße vor.
Irgendwann geht die Straße in eine
Kurve nach rechts über.
Hier spricht man von einer Rechtskrümmung.

Dieselben Ausdrücke rechts- oder links-
gekrümmt werden auch bei Funktionen
genutzt

Stellen wird uns jetzt die Parabel
f ( x ) = x^2 vor.
Die Funktion weist in ihrem gesamtem
Verlauf eine Linkskrümmung bezüglich
dem geradem Verlauf auf.
( Am besten einmal zeichnen )

Die 2.Ableitung ist
f ´´ ( x ) = + 2
Die Krümmung hat den Wert +2.

Merken
Linkskrümmung = positiver Wert
Rechtskrümmung = negativer Wert.

Falls ihr eine mathmatischere Begründung
haben wollt dann müßte ich / ihr einmal
im Internet nachsehen.
Dort gibt es sicherlich jede Menge
Videos zum Thema.

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Aufgabe: F(x)= - 1/6x^4+x2
wie berechne ich hier die Krümmung, Monotonie, Hoch und Tiefpunkte, Terassenpunkte und Wendepunkte?

f ( x ) = -1/6 * x^4 + x^2
f ´( x ) = -2/3 * x^3 + 2*x
f ´´ ( x ) = -2 * x^2 + 2

Stellen mit Steigung = 0 ( waagerechte Tangente )
f´(x) = -2/3 * x^3 + 2*x = 0
x * ( -2/3 * x^2 + 2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
-2/3 * x^2 + 2 = 0
x = √3
und
x = -√ 3

Wendestelle ( Krümmung = 0 )
f ´´ ( x ) = -2 * x^2 + 2 = 0
x = 1
und
x = -1

Kann bei Bedarf morgen weitergehen,

Avatar von 123 k 🚀

f`( 0 ) = 2 Tiefpunkt
f ´´( √3 ) = -4 Hochpunkt
f ´´( -√3 ) = -4 Hochpunkt

gm-273.JPG

Gute Nacht.

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