Hallo, ich weiß nicht was ich bei folgender Aufgabe machen soll und wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.
Sei A ∈ ℝMxN und b ∈ ℝM . Zeigen Sie:
Ax = b ist lösbar → ATAx = ATb ist lösbar
und die beiden Lösungsmengen stimmen überein.
Hinweis: Führen Sie das Problem auf die zugehörigen homogenen Gleichungssysteme zurück.
Danke im voraus
Ax = b ist lösbar
==> Ax = Eb ist lösbar (E = Einheitsmatrix)
==> Ax - Eb = 0 ist lösbar
==> A^T *( Ax - Eb ) = A^T 0 ist lösbar
==> A^T *( Ax - Eb ) = 0 ist lösbar
==> A^T Ax - A^T Eb = 0 ist lösbar
==> A^T Ax - A^T b = 0 ist lösbar
==> A^T Ax = A^T b ist lösbar
OK. Diese Richtung ist ja eigentlich trivial.
Aber warum sind die Lösungsmengen gleich?
Hallo,
die Lösungsmengen sind dann gleich, weil die Kerne gleich sind:
1. \(Ax=0 \Rightarrow A^TAx=0\)
2. \(A^TAx=0 \Rightarrow 0=\langle A^TAx,x \rangle= \langle Ax,Ax\rangle \Rightarrow Ax=0\)
Gruß Mathhilf
Danke :-) Über den Adjungiertheitszusammenhang zu gehenist mir nicht eingefallen.
Gern und einen schönen Sonntag - lieber mit oder lieber ohne mathematische Probleme? ;-)
Durchaus gerne mit mathematischen Problemen.Auch dir einen schönen vierten Advent !
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