Bild / Urbild bestimmen sowie Bedeutung

Question

Aufgabe:

\(\phi\left(\vec{x} \right) = \left(\begin{array}{r}-x + 3 \; y + 2 \; z\\2 \; x + z\\4 \; x - 2 \; y\\\end{array}\right)\)

1)Bestimmen Sie das Bild ϕ(E) von E : x + y + z =1.
2)Bestimmen Sie das Urbild \( ϕ^{-1} \) (E⁻)    E⁻: x⁻ -2y⁻ + z⁻ =0

Problem/Ansatz:

Wie kann ich mir das Bild/Urbild vorstellen?

"Das Bild ist die Bildmenge, also hier die Menge der Zahlen, auf die die Funktion abbildet." bringt mich nicht weiter...

Inwiefern hängen die beiden Aufgaben evtl zusammen? Und was bedeutet der kleine Strich über den Buchstaben bei 2) (Soll der "Ableitungsstrich" sein, hab keinen besseren gefunden)

Wie geht man bei so einer Aufgabe vor?

Comments

Weiß man beiläufig welche Abbildung besagtes Bild vom Urbild macht?

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Es ist eine Abbildung am Anfang gegeben. Das die damit zusammenhängt wusste ich ehrlich gesagt nicht… sah für mich nach komplett neuer teilaufgabe aus.

q(x)=(-x+3y+2z, 2x+z, 4x-2y)^T

Wie hängt das alles zusammen?

Nervt mich selbst ungemein dass ich sowas nicht merke…

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Ich hab Deine Angabe oben ergänzt, passt das so?

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Passt so. Mir war nicht bewusst das es da noch einen Zusammenhang gibt. Hab das Thema noch nicht soweit verstanden um das zu erkennen

Answer 1

Ok,

dann schreiben wir die Abbildung als Matrix (x,y,z spaltenweise)

\(\small A_\phi \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&3&2\\2&0&1\\4&-2&0\\\end{array}\right)\)

Für ϕ(E) von E : x + y + z =1.

würde ich mir 3 Punkte von E auswählen, z.B.

\(\small E_u \, :=  \, \left\{ \left(1, 0, 0 \right), \left(0, 1, 0 \right), \left(0, 0, 1 \right) \right\} \)

und die Punkte abbilden

\(\small A_\phi \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) = A_\phi \)

die Spalten von A_ϕ sind also Bilder von E, wo raus wir eine Bildebene machen

\(\small E'= x - y + z = 1\)

Wenn wir von der Bildebene

\( \tilde{E} :\) x⁻ -2y⁻ + z⁻ =0

ausgehen, suchen wir \( ϕ^{-1}( \tilde{E} )\), brauchen also \(A_\phi^{-1}\) (schaffst Du das?)

und suchen uns wieder 3 Punkte aus z.B.

\(\small \tilde{E_b} := {(2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, -1)}\)

bilden die "zurück" ab und erzeugen aus den Urbildpunkten eine Ebene (-x + y = 0).

Alles klar?

Comments

Jetzt ist die Sache schon ein gutes Stücken klarer.

Aber was passiert bei dem Schritt in der Lösung?

E: x+y+z=1  -> z=1-x-y -> \( \vec{x} \)=\( (x, y, 1-x-y)^{T} \)

Dann umformen: \( \vec{x} \)=\( (0,0,1)^{T} \) + x*\( (1,0,-1)^{T} \) + y*\( 0,1,-1^{T} \)

Man hat jetzt doch nur die Ebene von der Koordinatenform in die Normalenform gebracht, oder?

q(0,0,1)=\( (2,1,0)^{T} \); q(1,0,-1)=\( (-3,1,4)^{T} \); q(0,1,-1)=\( (1,-1,-2)^{T} \)

Wo setzt man diese Werte ein damit diese Vektoren raus kommen?

Das sind die Abgebildeten Vektoren die die Ebene E⁻ beschreiben, oder?

Diese dann wieder in in Parameterform und in Koordinatenform und man hat das Ergebnis.

An einem Punkt muss die Abbildung mit der Ebene in Verbindung gebracht worden sein damit die "neue" Ebene raus kommt. Nur wo und wie?

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Ich bin von einer Matrizenrechnung ausgegangen, man kann die Urbildvektoren natürlich auch in q direkt einsetzen.

Man hat die Koordinatenform in Parameterform gebracht, unglücklich ist die Wahl der Parameter x,y da sagt man gerne und besser λ,μ dazu (um Verwechslungen zu vermeiden). Für die Ebene kann man dann die x,y,z Koordinaten des Orts- und der Richtungsvektoren in q einsetzen.

Die Bilder der Vektoren setzt Du genau so wieder zu einer Parameterebene zusammen - die Bildebene.

Du findest diese Ergebnisse in meiner Lösung: der Ortsvektor ist die 3. Spalte und die Richtungsvektoren sind dann 1.Spalte-3.Spalte, 2.Spalte-3.Spalte

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Jetzt hat das ganze Klick gemacht...

Eine Abbildung ist dann ja nur eine Art Funktion in die man ein Urbild "einsetzt" und dann ein Bild raus bekommt.

Und Urbild bestimmen bedeutet in dem Fall ja nur, dass man schauen muss welche Ebene in die Abbildung eingesetzt wurde damit das gegebene Bild rauskommt...

Jetzt ergibt das alles auch mal Sinn

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Eine Sache noch:

Um das Urbild zum gegebenen Bild zu berechnen mache ich folgendes:

1. Inverse der Abbildungsmatrix berechnen

2. 2 Richtungsvektoren der Bildebene berechnen

3. Die Abbildungen der 2 RV berechnen

4. Davon die Ebene berechnen.

Stimmt das so? Müsste aber eigentlich irgendwie viiiieeel schneller gehen. Auf die Aufgabe gibts 3 Punkte, man müsste die also in 3 Minuten lösen können. Die Zeit reicht da schon nicht aus um die Inverse zu berechnen. Vom Rest abgesehen

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Das hast Du schön zusammen gefasst!

Dann ohne Matrix: Deine Bilder werden

\(\left\{ x_b, y_b, z_b \right\}  =  \left\{ -x + 3 \; y + 2 \; z, 2 \; x + z, 4 \; x - 2 \; y \right\} \)

und die Urbilder durch umstellen nach {x,y,z} durch einsetzen von Punkten der Bildebnen in x_b y_b z_b

zB:

{x_b = 2, y_b = 1, z_b = 0} ==> {x = 0, y = 0, z = 1}

{x_b = 0, y_b = 1, z_b = 2} ==> {x = 1, y = 1, z = -1}

usw..

geht vielliecht billiger damit?

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Wie kommt du auf die " ==> {x = 0, y = 0, z = 1}" Werte:

A*\( \vec{x} \)=\( \vec{x} \)⁻

\( \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 0\end{pmatrix} \) *\( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\4\\6 \end{pmatrix} \)

Aber nicht dein (0,0,1). Wie kommst du auf die Werte?

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Die sind von der Ebene \(\tilde{E}\) abgeguckt...

und invers abgebildet - durch die Umstellung der Abbildung ..

\(\small \left\{ x = x_b - 2 \; y_b + \frac{3}{2} \; z_b, y = 2 \; x_b - 4 \; y_b + \frac{5}{2} \; z_b, z = -2 \; x_b + 5 \; y_b - 3 \; z_b \right\}  \} \)

ggf. Wirst Du von \(\tilde{E}\) wieder die Parameterform machen wollen, also

\(\tilde{E}_p\) =r (2,1,0) + s (-1,0,1)

Da die Ebene durch den Ursprung geht brauchen wir nur die Richungsvektoren

r=1,s=0 und r=0,s=1

die setzen wir oben für x_b,y_b,z_b ein und erhalten die Urbilder davon.

sowas wie U:=r ( -1 / 2, -1 / 2, 1)+s (0,0,1)

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Habs jetzt bisschen rum probiert und es ein wenig anders geklappt.

Müsste aber dennoch so funktionieren.

\( \vec{x} \)*A gerechnet.

Dann hatte ich eine 3x3 Matrix, gleichgesetzt mit den punkten 2,1,0 und nach a1,a2,a3 aufgelöst.

Hatte da grad echt nen harten Denkfehler aber so müsste es auch gehen, auch ohne inverse oder sowas in die Richtung

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Das,

\( \vec{x} \;A \)

kannst Du nicht bringen - das gibt Ärger.

Wie kommst Du auf diese Idee? Womit gerechnet?

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Ok komisch, es funktioniert aber irgendwie...Habs mit mehreren Punkten getestet.

Hab die Formel: A*\( \vec{x} \)=\( \vec{x} \)⁻ verwendet.

Wobei \( \vec{x} \) mein gesuchter Urvektor ist und  \( \vec{x} \)⁻ einer der beiden Vekoren die ich über Punkte in der Ebene bestimmt habe.

Dann hatte ich ein LGS mit 3 gleichungen und 3 unbekannten. Jeweils mit dem Punkten gleichgesezt.

Aufgelöst und hab dann werte für a1,a2,a3 bekommen.

Einer der Urvektoren.

Dann noch den 2. gesucht.

Kreuzprodukt und fertig.

Also die Ergebnisse stimmen, darf man irgendwas so nicht machen?