0 Daumen
198 Aufrufe

Aufgabe:

Sei \( f \) eine Funktion.

a) Zeigen Sie, dass \( \bar{f}(x):=f(x) / x \) nur dort einen Extremwert haben kann, wo \( \left|\varepsilon_{f(x), x}\right|=1 \) gilt.

b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit \( f^{\prime}(x)=\varepsilon_{f(x), x} \) gilt?


Lösung:

a)

\( \begin{aligned} \frac{d}{d x} \bar{f}(x) &=\frac{f^{\prime}(x) \cdot x-f(x)}{x^{2}}=0 \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x} \Longleftrightarrow \\ \left|\varepsilon_{f(x), x}\right| &=\left|f^{\prime}(x) \cdot \frac{x}{f(x)}\right|=\left|\frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{f(x)}\right|=1 \end{aligned} \)

Tipp: Das \( \Longleftrightarrow \) nicht in einem Schritt überlegen: Erst die Folgerungen von oben links nach unten rechts überlegen und dann von unten rechts nach oben links.

b) Gemäß Definition gilt \( \varepsilon_{f(x), x}=f^{\prime}(x) \cdot \frac{x}{f(x)} \). Es gilt \( f^{\prime}(x)=\varepsilon_{f(x), x} \), wenn \( x=f(x) \) ist oder \( f^{\prime}(x)=0 \).


Problem/Ansatz:

Kann jemand inWorte fassen, was hier genau geschieht und was gemacht wird?

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen

a)

Notwendige Bedingung für einen Extremwert ist 1. Ableitung = 0. Also Quotientenregel

[f(x) / x]' = (f'(x)·x - f(x)·1) / x^2 = 0

Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist.

f'(x)·x - f(x) = 0 → f'(x) = f(x) / x

Ein Wert mal seinem Kehrwert ist 1. Also

f'(x) · (x / f(x)) = 1

Avatar von 487 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community