, ich hatte überlegt bei 1. einfach alle Dinge zu Überprüfen die auf einen Ring zutreffen
Das ist nicht nötig, du darfst es ja voraussetzen.
und anschließend nur noch zu zeigen dass x^2=x gilt. Genau darum geht es:
Bei ((Z/2Z)^n,+,·) geht es ja um n-Tupel mit Komponenten in Z/2Z.
Die Komponenten haben also nur die beiden möglichen Werte 0 und 1.
Und weil die Multiplikation komponentenweise erfolgt, musst du
nur prüfen ob in Z/2Z gilt 0*0=0 und 1*1=1. Und stimmt ja.
Bei (P(X),∆,∩) entspricht ∩ der Multiplikation und für Mengen A
gilt ja immer A∩A=A , also ist das auch boolsch.
Bei 2) sollst du zeigen: Für jeden boolschen Ring gilt
x+x = 0 und xy = yx für alle x,y
Das erste steht schon im Kommentar und "kommutativ" etwa so:
Es gilt (x+y)^2 = x+y weil ja das Quadrieren nichts ändert (boolsch!)
==> (x+y)(x+y)=x+y Jetzt nach Distributivgesetz auflösen
Achtung: Keine binomische Formel, die gilt nur bei kommutativen !
==> x*x +x*y +y*x +y*y = x + y Quadrate weglassen
==> x + x*y + y*x + y = x+y | -x-y
==> x*y + y*x = 0
==> x*y = -y*x und wegen des additiven Selbstinversen
==> x*y = y*x q.e.d.