0 Daumen
306 Aufrufe

Hallo,
Ich muss durch ein induktiven Beweis folgende Aussage beweisen:

$$\forall n \in \mathbb{N}_{>2} \: \exists y \in \mathbb{N}: (n+2)^3 + 2(n+2) = 3y$$


Wie genau mache ich das? Habe zumindest folgenden Ansatz versucht:


1. Basisfall:
Ich suche ein $$ y \in  \mathbb{N} $$ mit $$ n = 3 $$ 
Daraus erhalte ich:

(3+2)^3 + 2 * (3+2) = 3y
125 + 10 = 3y
135 = 3y
45 = y

Damit $$ \exists y \in \mathbb{N} $$

2. Induktiver Schritt:
Hier weiss ich leider nicht genau weiter.

Kann mir jemand helfen und vielleicht zeigen wie man solche Aufgaben beweist?


Danke!

Avatar von

Setze doch mal in der linken Seite n durch n+1, rechne alles aus, fasse dann zusammen, was (n+2)^3 ergibt, und, was 2(n+2) ergibt und schau, was übrig bleibt

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du den Ausdruck ein klein wenig umformst:

$$\phantom{=}(n+2)^3+2(n+2)=(\;(n+2)^2+2)(n+2)=(n^2+4n+6)(n+2)$$$$=(n^2+4n+3+3)(n+2)=(\;(n+1)(n+3)+3)(n+2)$$$$=(n+1)(n+2)(n+3)+3(n+2)$$erkennst du, dass dieser immer durch \(3\) teilbar sein muss. Der erste Summand ist die Folge von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, sodass eine von ihnen sicher durch 3 teilbar ist. Der zweite Summand enthält den Faktor \(3\). Daher ist:$$A(n)\coloneqq\frac{(n+2)^3+2(n+2)}{3}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+(n+2)\in\mathbb N$$

Du erkennst auch, dass das nicht nur für \(n\ge3\) gilt, sodnern für alle \(n\in\mathbb N\).

Eigentlich bist du damit schon fertig, du kannst den Induktionsschritt aber auch noch ausführen:

$$A(n+1)=\frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{3}+(n+3)$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+2)(n+3)(n+1+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+2)(n+3)(n+1)+3(n+2)(n+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+\frac{3(n+2)(n+3)}{3}+n+2+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}+(n+2)+\frac{3(n+2)(n+3)}{3}+1$$$$\phantom{A(n+1)}=A(n)+(n+2)(n+3)+1$$Nach Induktionsvoraussetzung ist \(A(n)\in\mathbb N\), sodass auch \(A(n+1)\in\mathbb N\) sein muss.

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Betrachte also (n+3)^3 + 2(n+3)

= (n+2+1)^3 + 2(n+2+1)   dann vorne binomi.

= (n+2)^3 + 3(n+2)^2 + 3(n+2) + 1 + 2(n+2) + 2

= (n+2)^3 + +          2(n+2)   +  3(n+2)^2  +3(n+2) + 3

Die Summe der ersten beiden ist wegen der

Ind.annahme durch 3 teilbar und die restlichen auch alle.

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community