Durchschnittliche Wachstumgeschwindigkeit berechnen?

Question

Hey, Ich bearbeite gerade ein paar Anwendungsaufgaben und komme bei manchen nicht weiter. Die a und die c konnte ich rechnen aber b,d und e kriege ich einfach nicht hin.

Aufgabe Blume:
Bei der Untersuchung des Wachstums einer Blume hat man herausgefunden, dass das Wachstum durch die
Funktion f(x) = -0,005x^3 + 0,25x^2 + 0,5x
beschrieben werden kann.
Dabei ist x die Zeit in Tagen und y die Pflanzenhöhe in cm.

(a. Bestimmen Sie die Pflanzenhöhe nach 20 Tagen.)
b.
Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 20 Tagen.
(C.
Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit am 10 Tag.)
d
Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist.
e
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu welchem die Wachstumsgeschwindigkeit genau so groß ist wie am 5.

Wäre sehr lieb wenn mir jemand helfen kann und vielleicht die Schritte die ich für die jeweiligen Aufgaben machen muss vorgibt.

LG und danke im Voraus

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Pflanzenhöhe nach 20 Tagen.

f(20) = 70 cm

b) Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 20 Tagen.

(f(20) - f(0)) / (20 - 0) = 3.5 cm/Tag

c) Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit am 10 Tag.

f'(10) = 4 cm/Tag
Hier gibt es eine sprachliche Diskrepanz. Am 10 Tag ist eigentlich kein Zeitpunkt sondern ein Zeitraum. Ich denke hier ist nach 10 Tagen gemeint.

d) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist.

f''(x) = 0 → x = 50/3 = 16.67 Tage

e) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu welchem die Wachstumsgeschwindigkeit genau so groß ist wie am 5. Tag.

f'(x) = f'(5) → x = 85/3 = 28.33 Tage

Comments

Danke für die Antwort. Ich verstehe aber leider noch nicht was ich jetzt bei d rechnen soll. Ich verstehe nicht wie man auf diese 50 und auf die 3 kommt. Auch bei der e weiß ich nicht was gemeint ist. F'(x) mit f'(5) gleichsetzen?

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Die größte Wachstumsgeschwindigkeit ist am Wendepunkt. Daher musst du die 2. Ableitung = null setzen und nach x auflösen.

-0,3x + 0,5 = 0

Die Wachstumsgeschwindigkeit am 5. Tag ist f'(5) = \( \frac{21}{8} \), also

\(-0,015x^2+0,5x+0,5=\frac{21}{8}\)

und diese Gleichung nach x auflösen.

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Danke für die Antwort. Ich verstehe aber leider noch nicht was ich jetzt bei d rechnen soll. Ich verstehe nicht wie man auf diese 50 und auf die 3 kommt. Auch bei der e weiß ich nicht was gemeint ist. F'(x) mit f'(5) gleichsetzen?

Zunächst eine Gegenfrage.

Kannst du die Ableitungen f'(x) und f''(x) bilden?

Wenn ja mach das mal und schreibe sie auf.

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Ja das kann ich das müsste

f'(x)= -0,015x^2+0,5x+0,5

f''(x)= -0,03x+0,5

Sein.

Answer 2

a) Berechne f(20)

b) Berechne (f '(20)-f'(0))/(20-0)

c) Berechne f '(10)

d) Berechne f ''(x) =0

e) Berechne: f '(x) = f '(5)

Comments

Müsste bei b) nicht mit der Ausgangsfunktion anstatt mit der Ableitung gerechnet werden?

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Müsste bei b) nicht mit der Ausgangsfunktion anstatt mit der Ableitung gerechnet werden?

Ja müsste. Ist sicher nur ein Schreibfehler gewesen.

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Die Formulierung ist dann nicht sauber:

Es ist von Wachstumsgeschwindigkeit, nicht vom Wachstum die Rede.

Die Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung, oder?

Ich hab mich auch gewundert, mich aber an den Wortlaut gehalten.

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Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit ist hier die Mittlere Geschwindigkeit und damit die Sekantensteigung.

~plot~ -0,005x^3+0,25x^2+0,5x;3.5*x;[[0|22|0|80]] ~plot~

Mit (f '(20) - f'(0)) / (20 - 0) berechnet man die mittlere Beschleunigung in den ersten 20 Tagen.

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Ich sehe es auch so wie du. Dennoch irriert der Terminus, finde ich. :)

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Geschwindigkeit wird gemessen in Länge pro Zeit und genau das kommt ja auch heraus.

(f(20) - f(0)) / (20 - 0) = 3.5 cm/Tag

Daher eine mittlere (Wachstums-) Geschwindigkeit.