Aufgabe:
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Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter \( p \in \mathbb{R} \) :\( \begin{aligned} x+2 y+4 z &=2 \\ -2 \cdot x+8 y &=2 \\ p \cdot x+4 y+8 z &=8 \end{aligned} \)Geben Sie an, für welche Werte von \( p \) dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.\( p \neq \)
Lösungsweg bitte.
Aloha :)
Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist. In Matrix-Schreibweise lautet dein Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 8\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix}$$
Zur Berechnung der Determinante ziehen wir zuerst aus der zweiten Spalte den Faktor \(2\) vor die Determinante und aus der dritten Spalten den Faktor \(4\). Dann subtrahieren wir die 3-te Spalte von der 2-ten Spalte:$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 8\end{array}\right|=2\cdot4\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\-2 & 4 & 0\\p & 2 & 2\end{array}\right|\stackrel{(S_2-=S_3)}{=}8\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-2 & 4 & 0\\p & 0 & 2\end{array}\right|$$Jetzt ziehen wir noch die \(4\) aus der mittleren Spalte vor die Determinante und entwickeln diese nach der mittleren Spalte:$$=8\cdot4\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-2 & 1 & 0\\p & 0 & 2\end{array}\right|=32\cdot(2-p)$$Die Determinante ist ungleich \(0\), wenn \(p\ne2\) ist. Das heißt, für alle \(p\ne2\) hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.
Deine Antworten sind die Besten! Danke dir!!!!
Stelle die Zeilenstufenform her und werte sie aus.
Oder arbeite mit der Determinante.
DET([1, 2, 4; -2, 8, 0; p, 4, 8]) ≠ 0 --> p ≠ 2
Die Determinante kann man auch recht einfach mit der Regel von Sarrus bestimmen. Das ist in der Regel schneller und einfacher als vorher irgendwelche Umformungen zu machen.
1·8·8 + 2·0·p + 4·(-2)·4 - p·8·4 - 4·0·1 - 8·(-2)·2 = 64 - 32·p
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