Definition 1.15.12
Eine beschränkte Menge \( A \subseteq \mathbb{R}^{n} \) heißt
Jordan-messbar, wenn für jedes Rechteck \( B=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right] \) mit \( B \supseteq A \) das R-integral \( \int \limits_{B} \mathbb{1}_{A}(x) d x \) existiert.
Jordan-Nullmenge, wenn für jedes \( B=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right] \) mit \( B \supseteq A \) gilt, dass \( \int \limits_{B} \mathbb{1}_{A}(x) d x=0 . \)
Hierbei ist \( \mathbb{1}_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) die Indikatorfunktion von \( A \), die definiert ist durch
\( \mathbb{1}_{A}(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1 & , \quad x \in A \\ 0 \quad, \quad & x \notin A \end{array}\right. \)
Offenbar ist jede Jordan-Nullmenge Jordan-messbar.