Lineare Modelle Bias berechnen

Question

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Es soll folgendes lineare Modell gelten:

y = β₀ + β₁*x₁ + β₂ * x₂ + e

Stellen Sie sich vor, Sie passen anstelle dieses Modells das unterangepasste Modell

y = β₀ + β₁*x₁ + e an die Daten an. Sie bekommen dadurch verzerrte Schätzer für β₀ und β₁. Zeigen Sie, dass die Verzerrung von β₁ gegeben ist durch:

bias(β₁) = \( \frac{COV(x1;x2)}{VAR(x1)} \) β2

Hinweis: die Designmatrix des richtigen Modells sei X = (X1 X2), die des unterangepassten Modells X1, wobei

X1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ x11 & x21 \\ ... & ... \\ 1 & xn1\end{pmatrix} \)

X2 = \( \begin{pmatrix} x12\\x22\\...\\xn2\end{pmatrix} \)

Verwenden Sie diese beiden allgemeinen Matrizen zur Bestimmung der Verzerrung.