Stetigkeit der Umkehrfunktion, Zwischenwertsatz

Question

Moin,

habe ne Frage

Stetigkeit der Umkehrfunktion, Zwischenwertsatz

(a) Der Sinus hyperbolicus ist definiert durch sinh: \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \).

(i) Zeigen Sie \( \sinh (x)<\sinh (y) \) für \( x<y \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh (x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \sinh (x)=-\infty \)

(ii) Zeigen Sie, dass sinh bijektiv und \( \sinh ^{-1} \) stetig ist.

(b) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig und beschränkt. Dann besitzt \( f \) einen Fixpunkt, d.h., es existiert ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x \).

zu der a)i) mein erster Ansatz war, mit vollständiger Induktion zu Beweisen das sinh(x)=... gilt ist das überhaupt notwendig um die Stetigkeit zu beweisen oder trivial? Leider weiß ich danach nicht mehr weiter würde mich über jegliche Hilfe freuen (Ansätze,Lösungen)

Vielen Dank im voraus!!

Mathesurfer

Answer 1

Hallo

 1. dass sinh(x)=1/2(e^x-e-x) ist  sollst du nicht zeigen so ist sinh definiert!

2. das monotone steigen also sinh(x)<sinh(y) für \( x<y \) indem du dividierest , dann e^x bzw e^y < ausklammerst  und zeigst dass der Quotient <1 ist., die GW sind ja einfach durch die e Fkt bestimmt.

ii folgt aus der Monotonie , entsprechend die Stetigkeit der Umkehrfkt,

Gruß lul

Comments

Vielen Dank erstmal für die Antwort hast du noch einen Tipp für die b leider ist die nicht Trivial für mich. Kannst du die i nochmal etwas ausführen? Wäre super lieb.

Vielen Dank

Mathesurfer:)

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Hallo, wie i geht hab ich beschreiben, was daran ist unverständlich? Zeige was du bisher gemacht hat.

zu b nur: skizziere eine beliebige Funktion und die Gerade y=x. warum schneiden sie sich? Oder zeichne y0x und versuche eine stetige Funktion zu zeichnen, die nicht schneidet.

lul