Aloha :)
Es ist\(\left(1\colon\!\frac{n+1}{n}\right)=\frac{n}{n+1}\), denn die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert.$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac nn+\frac1n}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\frac1n}\right)^{n+1}$$
Nun wurden die Potenzgesetze ausgenutzt, konkret \(\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\)$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}\right)$$
Nun wurden die Grenzwertsätze ausgenutzt. Diese besagen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen ebenfalls konvergieren und zwar gegen Summe, Differenz, Produkt und Quotient der Grenzwerte:$$=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(1)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(1)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\,\left(1+\frac1n\right)^n\cdot\left(1+\frac1n\right)\,\right)}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)}$$Schließlich wurden der Tipp verwendet und die Grenzwerte eingetragen:$$=\frac{1}{e\cdot1}=\frac1e$$