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Aufgabe:

Zu zeigen: : ℤ → R mit ƒ ([m,n]) = g(m) - g(n) ist ein wohldefinierter Ringhomomorphismus.

geg.: R Ring, Abb. g: ℕ →R mit {g(0)=0; g(n+1)=g(n)+1


Problem/Ansatz:

Versteht jemand wie man das genau zeigt ? Irgendwie bin ich sehr verwirrt.

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Das ist eine Aufgabe, deren Lösung viel Schreibarbeit bedeutet.

Daher zeige ich nur Auszüge, um die Methode zu demonstrieren:

0. Eigenschaft von \(g\):

Es gilt \(g(n)=1+\cdots+1\text{ (n Summanden)} =n\cdot 1\).

Das ist leicht zu zeigen ...

1. Wohldefiniertheit:

Zu zeigen ist: \([m,n]=[r,s]\Rightarrow g(m)-g(n)=g(r)-g(s)\).

Beweis:

\([m,n]=[r,s]\Rightarrow m+s=r+n\Rightarrow\)

\(g(m)+g(s)=m\cdot 1+s\cdot 1=(m+s)\cdot 1=(r+n)\cdot 1=\)

\(=r\cdot 1+n\cdot 1=g(r)+g(n)\). In R gilt also

\(g(m)-g(n)=g(r)-g(s)\).

2. Multiplikativität:

In Z gilt \([m,n]\cdot [r,s]=[mr+ns,ms+nr]\).

Mit dieser Multiplikationsdefinition erhalten wir

\(f([m,n)f([r,s])=(g(m)-g(n))(g(r)-g(s))=\)

\(=(m\cdot 1-n\cdot 1)(r\cdot 1-s\cdot 1)=\)

\(=(mr+ns)\cdot 1-(ms+nr)\cdot 1=\)

\(=g(mr+ns)-g(ms+nr)=f([mr+ns,ms+nr])=\)

\(=f([m,n]\cdot [r,s])\).

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Vielen lieben Dank!! :)

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