Bildet f nach [a,b] ab, so gibt es x ∈ [a,b] mit f(x) = x

Question

Aufgabe:Seien a, b ∈ R, a < b und f, g : [a,b] → R stetig. Zeige die folgende Aussage: Bildet f nach [a,b] ab, so gibt es x ∈ [a,b] mit f(x) = x.

Comments

Betrachte g(x) := f(x) - x

Schau dir an ob g(a) und g(b) kleiner / größer / gleich 0 sind.

Wirf dann einen Blick auf den Mittelwertsatz. Argumentiere auch, warum alle Voraussetzungen für dessen Anwendbarkeit erfüllt sind.

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Auch hier war (natürlich) der Zwischenwertsatz gemeint :)

Answer 1

Mit dem Tipp geht es so:   g(x) := f(x) - x  ist dann auch stetig.

Wenn f von  [a,b] nach [a,b] abbildet, dann ist f(a)∈[a,b]

Also a≤f(a)≤b ==>   a-a ≤f(a)-a ≤b-a

                      ==>  0 ≤f(a)-a ≤b-a

                         ==>  0 ≤   g(a)   ≤b-a

Und f(b) ∈[a,b] ==>  a≤f(b)≤b ==>  a-b ≤f(b)-b ≤b-b
                      ==>  a-b ≤f(b)-b ≤0  
                        ==>  a-b ≤  g(b)  ≤0

Also ist g(a) ≥0  und g(b)  ≤0.

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x ∈ [a,b] mit

              g(x)=0 <=>  f(x)-x = 0 <=>  f(x)=x.   q.e.d.

In der Art klappen auch die anderen Aufgaben.