Für welchen Wert von k wird der Inhalt des Dreiecks minimal? Wie groß ist der Flächeninhalt?

Question

Die tangente und die normale des graphen der Funktion fk mit fk(x)=e^kx mit k>0 im punktP(0|1) begrenzen mit der x Achse ein Dreieck. Für welchen Wert von k wie der inhLt dieses Dreiecks minimL?wie groß ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks?

kann mir bitte jemAnd helfen?

Answer 1

Tangentengleichung (Punkt-Steigungsform):

t ( x ) = f ' ( 0 ) * ( x - 0 ) + 1 = k * e ^{k * 0} * x + 1

= k * x + 1

Schnittpunkt mit x-Achse:

k x + 1 = 0

<=> k x = - 1

<=> x = - 1 / k

 

Normalengleichung:

n ( x ) = - 1 / f ' ( 0 ) * ( x - 0 ) + 1

= - ( 1 / k ) * x + 1

Schnittpunkt mit x-Achse:

- ( 1 / k ) * x + 1 = 0

<=> 1 =  x / k

<=> x = k

Das Dreieck hat also die Eckpunkte

( -1 / k | 0 ) , ( 0 | 1 ) , ( k | 0 )

Sein von k abhängiger Flächeninhalt A ( k ) ist:

A ( k ) = g * h / 2

= ( k - ( - 1 / k ) ) * 1 / 2

= ( 1 / 2 ) * ( k + ( 1 / k ) )

= ( k / 2 ) + 1 / ( 2 k )

Minimum höchstens dort, wo A ' ( k ) = ( 1 / 2 ) - ( 1 / ( 2 k ² ) ) den Wert Null annnimmt, also:

( 1 / 2 ) - ( 1 / ( 2 k ² ) ) = 0

<=> ( 1 / 2 ) = ( 1 / ( 2 k ² ) )

<=> 2 = 2 k ²

<=> 1 = k ²

<=> k = - 1 oder k = 1

Für die zweite Ableitung A ' ' ( k ) = 1 / k ³ gilt:

A ' ' ( - 1 ) = - 1 => lokales Maximum von A ( k ) bei k = - 1 

A ' ' ( 1 ) = 1 => lokales Minimum von A ( k ) bei k = 1

 

Also: Bei k = 1 liegt ein lokales Minimum von A ( k ) vor.

Der Wert von A ( k ) und somit der Flächeninhalt des minimalen Dreiecks ist dort:

A ( 1 ) = ( 1 - ( - 1 / 1 ) ) * 1 / 2

= 1