Hallo, und zwar habe ich hier eine Funktion, die stetig und beschränkt aber nicht gleichmäßig stetig ist. Man solle dies zeigen und die Lösung habe ich zwar, aber verstehe so gut wie nichts daran. Vor allem das mit k-> unendlich mit Limes xk = x2n und ganz unten wie man dort auf xn größer gleich 1/2 gekommen ist und was genau für die f eingesetzt wurden. Wäre nett wenn mir jemand das ausführlich erklären könnte sitze schon seit 2 Stunden dran.
Aufgabe:
beschränkt und stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist. Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( x_{n}:=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \). Definiere \( f:[0,1[\rightarrow \mathbb{R} \) durch\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x_{2 n}}{x_{2 n+1}-x_{2 n}}\left(x_{2 n+1}-x\right) & \text { falls } x \in\left[x_{2 n}, x_{2 n+1}\left[\text { für ein } n \in \mathbb{N}_{0},\right.\right. \\ \frac{x_{2 n+2}}{x_{2 n+2}-x_{2 n+1}}\left(x-x_{2 n+1}\right) & \text { falls } x \in\left[x_{2 n+1}, x_{2 n+2}\left[\text { für ein } n \in \mathbb{N}_{0} .\right.\right. \end{array}\right. \)(i) Skizzieren Sie \( f \).(ii) Zeigen Sie: \( f \) ist stetig und beschränkt,(iii) \( f \) ist nicht gleichmäßig stetig.
Lösung:
Zur Stetigkeit: Die Funktion \( f \) ist auf jedem offenen Intervall \( ] x_{2 n}, x_{2 n+1}[ \) bzw \( ] x_{2 n+1}, x_{2 n+2}[ \) mit \( n \in \mathbb{N}_{0} \) eine affin-lineare Funktion der Form \( x \mapsto a x+b \) mit \( a, b \in \mathbb{R} \) und damit bekanntermaßen stetig. Es ist also nur Stetigkeit in den Punkten \( x_{2 n} \) und \( x_{2 n+1} \) mit \( n \in \mathbb{N}_{0} \) zu untersuchen (Überlegen Sie sich hier genau mit der Definition von Stetigkeit, warum das ausreicht! Für Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt ist nur das Verhalten der Funktion "ganz nah" an dem Punkt entscheidend).Sei \( n \in \mathbb{N} \) beliebig (für \( n=0 \) ist \( x_{2 n}=0 \) und \( f \) ist konstant 0 auf dem Intervall \( \left[0, x_{1}[,\right. \), also dort stetig). Wir zeigen Stetigkeit im Punkt \( x_{2 n} \). Dazu zeigen wir, dass links- und rechtsseitige Grenzwerte der Funktion bei \( x_{2 n} \) existieren und mit \( f\left(x_{2 n}\right) \) übereinstimmen. Dann folgt die Stetigkeit aus Tutoriumsblatt 7 , Aufgabe 4. Sei \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Folge in \( D \cap]-\infty, x_{2 n}\left[=\left[0, x_{2 n}[\mathrm{mit}\right.\right. \)\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{k}=x_{2 n} . \)Für genügend großes \( k \) ist dann \( x_{k} \in\left[x_{2 n-1}, x_{2 n}[\right. \), und es folgt für solche \( k \)\( f\left(x_{k}\right)=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n}-x_{2 n-1}}\left(x_{k}-x_{2 n-1}\right) \stackrel{k \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{x_{2 n}}{x_{2 n}-x_{2 n+1}}\left(x_{2 n}-x_{2 n+1}\right)=x_{2 n}, \)also ist \( \lim \limits_{x \nearrow_{x_{2} n}} f(x)=x_{2 n}=f\left(x_{2 n}\right) \). Analog folgt durch Betrachtung einer Folge \( \left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) in \( \left.D \cap\right] x_{2 n}, \infty[=] x_{2 n}, 1\left[\operatorname{mit} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{k}=x_{2 n}\right. \), dass \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=x_{2 n} \), also \( \lim \limits_{x} \backslash x_{2 n} f(x)=x_{2 n}=f\left(x_{2 n}\right) \) und \( f \) ist in \( x_{2 n} \) stetig. Genauso zeigt man, dass \( f \) in jedem Punkt \( x_{2 n+1} \) mit \( n \in \mathbb{N}_{0} \) stetig ist.3(iii) Wähle \( \varepsilon=\frac{1}{2} \). Sei \( \delta>0 \) beliebig. Sei \( n \in \mathbb{N} \) so gewählt, dass \( 2^{-(n+1)}<\delta . \) Dann ist\( \left|x_{n+1}-x_{n}\right|=\left|1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\right|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}<\delta \)aber\( \left|f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|=x_{n} \geq \frac{1}{2} \)für gerade \( n \in \mathbb{N} \) und\( \left|f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|=x_{n+1} \geq \frac{1}{2} \)für ungerade \( n \in \mathbb{N} \). Also ist \( f \) nicht gleichmäßig stetig.
