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Hallo zusammen! Ich mache gerade eine Aufgabe und komme nicht weiter.

Ich habe für das Integral  ∫ (2*cos2(t) + 2*cos2(t)*sin(t) - cos(t)sin2(t) - 2*sin3(t)) dt


die folgende Lösung (nach Musterlösung):  ∫(2*cos2(t) - cos(t)sin2(t)) dt


Leider verstehe ich nicht, wie man diese Lösung bekommen hat. Könnte jemand vielleicht erklären?


Ich danke Euch im Voraus für die Hilfe!

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Leider verstehe ich nicht, wie man diese Lösung bekommen hat.

Verstehe ich auch nicht, denn sie ist falsch. Setze einfach mal für \(t=\pi/2\) ein. Dann steht oben \(-2\) und unten \(0\).

Es könnte bei passenden Integralgrenzen (z.B. 0 bis 2pi oder -a bis a) dennoch richtig sein.

Sorry, ich habe die Grenzen vergessen zu schreiben: für von pi/2 bis 3/2 pi.

Verstehe trotzdem immer noch nicht.

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Hallo,

hj schrieb:

Es könnte bei passenden Integralgrenzen (z.B. 0 bis 2pi oder -a bis a) dennoch richtig sein.

Sehr guter Hinweis!

Es gilt also eine zweites Integral über \(n(x)\) zu finden, welches in den gleichen Grenzen den Wert 0 annimmt. Also $$\int\limits_a^b f(x) \,\text{d}x+ \underbrace{\int\limits_a^b n(x)\,\text dx}_{=0} = \int\limits_a^b \left(f(x)+n(x)\right) \,\text{d}x$$in der Hoffnung, das der Term \(f(x)+n(x)\) eine Vereinfachung gegenüber \(f(x)\) darstellt.

Das Integrationsintervall ist \([\pi/2;\,3\pi/2]\). Die Mitte liegt bei \(\pi\). Man kann also eine zu \(\pi\) ungerade symmetrische Funktion*) \(u(x)\) wählen und das Integral dieser Funktion dazu addieren. Weiter kann man diese Funktion mit jeder geraden symmetrischen Funktion \(g(x)\) bezogen auf \(\pi\) multiplizieren.

*) ich kenne den korrekten Ausdruck dafür nicht!

Dann wird folgendes Integral zu 0 $$\int\limits_a^b \left(u(x)\sum_i g_i(x)\right)\,\text dx = 0 \quad \quad \frac{a+b}2= \pi$$

Eine ungerade zu \(\pi\) symmetrische Funktion wäre$$u(x)= \sin(x) \quad \text{da}\space \sin(\pi + x) = -\sin(\pi - x)$$gerade zu \(\pi\) symmetrische Funktionen sind$$g_1 = \cos(x) \quad \text{da}\space \cos(\pi + x) = \cos(\pi - x) \\ g_2=\sin^2(x) \quad \text{da} \space \sin^2(\pi + x) = \sin^2(\pi -x)$$und in diesem speziellen Fall hat man gewählt$$n(x)= 2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)$$\(\sin(x)\) ist eine ungerade Funktion und die anderen sind Kombinationen von geraden Funktionen. Daher ist hier$$\int\limits_a^b \left(2\sin(x)\left(\sin^2(x)-\cos^2(x)\right)\right)\,\text dx = 0 \quad \text{für} \space \frac{a+b}2=\pi$$Addiere also diesen Term zu dem Ausgangsterm hinzu und es entsteht der Term, der in der Lösung angegeben ist.

Hier noch mal im Bild


Die Funktion mit dem blauen Graphen ist gegeben. Dann wird die Funktion des roten Graphen hinzu addiert - wobei man sieht, dass diese innerhalb des markierten Intervalls (punkt-)symmetrisch ist. Ihr Integral ist also 0. Und das Ergebnis ist der grün gestrichelte Graph.

Gruß Werner

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