Funktionsgrenzwert bestimmen Limes

Question

Aufgabe:

Funktionsgrenzwert bestimmen

\( \frac{x^{2}}{2^{x}} \stackrel{x \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \)

Problem/Ansatz:

Warum ist der Grenzwert bei dieser Aufgabe 0.Hier steht doch unendlich/unendlich oder nicht ?

Comments

Vielleicht so: Für \(x>0\) gilt$$\large0<\frac{x^2}{2^x}=\frac{x^2}{4^{\frac12x}}<\frac{x^2}{\mathrm e^{\frac12x}}<\frac{x^2}{\frac1{48}x^3}=\frac{48}x.$$

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Für hinreichend große \(x\) ist \(x^3<2^x\), also $$\dfrac{x^2}{2^x}<\dfrac{x^2}{x^3}=\dfrac{1}{x}$$.

Answer 1

lim x -> ∞ [ x^2 / 2^x ]  => unendlich / unendlich
Ein Fall fürs Krankenhaus ( l ´hospital )

Zuvor wandele ich 2^x in eine e-Funktion um.
Dann wird das ableiten leichter.

2^x = e^(ln(2)*x )
Getrennt ableiten
( x^2 ) ´ / ( e^(ln(2)*x ))´

2x / ( e^(ln(2)*x ) * ln(2)
immer noch unendlich / unendlich
nocheinmal ableiten
2 / ( e^(ln(2)*x ) * ln(2) * ln(2) )
2 / ∞ = 0

Bei Bedarf nachfragen

Comments

Erstmal danke.Leider müssen wir es ohne l`hospital machen und mir ist nicht klar,wie man dann darauf kommt?

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Leider müssen wir es ohne l`hospital machen

Würde etwas dagegen sprechen, das von Anfang an mitzuteilen?

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Ohne l´hospital wüßte ich leider nichts.

Answer 2

Dann muss es wahrscheinlich in Schritten erfolgen:

1) Nachweis des monotonen Fallens.

Bei gleichzeitiger Beschränkung nach unten (die Werte können nicht negativ werden) folgt daraus die Existenz eines nichtnegativen Grenzwertes g.

2) Die Annahme g>0 muss durch einen Widerspruchsbeweis widerlegt werden. Man könnte z.B. zeigen, dass eine hinreichend kleine Epsilonumgebung von g (die oberhalb von 0 endet), irgendwann "nach unten verlassen wird".

Answer 3

Da 2^x schneller wächst als x^2 ist der Grenzwert 0.