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Aufgabe:

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Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\left(3+\frac{1}{n}\right)^{n}} x^{n} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} x^{n} \)
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}\left(3 n^{7}+5 n^{2}\right)}{7 n^{2}-1}(x+1)^{3 n} \)


Problem/Ansatz:

Kann bitte jemand mir zeigen oder Tipps geben wie ich das Konvergenzradius hier bestimmen kann?

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Aloha :)

Ich führe die Berechnung des Konvergenzradius anhand der letzten Teilaufgabe vor.$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left((x+1)^3\right)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}$$

Der Konvergenzradius ist der Grenzwert des Ausdrucks:$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}}{\frac{5^{n+1}(3(n+1)^7+5(n+1)^2)}{7(n+1)^2-1}}=\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}\cdot\frac{7(n+1)^2-1}{5^{n+1}(3(n+1)^7+5(n+1)^2)}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{5^n}{5^{n+1}}\cdot\frac{3n^7+5n^2}{3(n+1)^7+5(n+1)^2}\cdot\frac{7(n+1)^2-1}{7n^2-1}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{5^n}{5^n\cdot5}\cdot\frac{\frac{1}{n^7}\left(3n^7+5n^2\right)}{\frac{1}{n^7}\left(3(n+1)^7+5(n+1)^2\right)}\cdot\frac{\frac{1}{n^2}\left(7(n+1)^2-1\right)}{\frac{1}{n^2}\left(7n^2-1\right)}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3+\frac{5}{n^5}}{3\left(\frac{n+1}{n}\right)^7+5\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n^5}}\cdot\frac{7\left(\frac{n+1}{n}\right)^2-\frac{1}{n^2}}{7-\frac{1}{n^2}}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3+\frac{5}{n^5}}{3\left(1+\frac1n\right)^7+5\left(1+\frac1n\right)^2\cdot\frac{1}{n^5}}\cdot\frac{7\left(1+\frac1n\right)^2-\frac{1}{n^2}}{7-\frac{1}{n^2}}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{1}{5}\cdot\frac{3+0}{3\left(1+0\right)^7+5\left(1+0\right)^2\cdot0}\cdot\frac{7\left(1+0\right)^2-0}{7-0}=\frac15\cdot\frac33\cdot\frac77=\frac15$$

Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac15\).

Das Polynom konvergiert für alle \(x\), für die gilt:$$|(x+1)^3|<\frac15\implies -\frac15<(x+1)^3<\frac15\implies -\frac{1}{\sqrt[3]{5}}<x+1<\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\implies$$$$-\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}+1\right)<x<\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}-1\right)$$

Die anderen beiden Teilaufgaben sind leichter und funktionieren nach demselben Prinzip. Die kriegst du bestimmt alleine hin. Falls nicht, bitte einfach nochmal hier nachfragen.

Avatar von 152 k 🚀

vielen Dank!! ich hab das erste Aufgabe auch mit Wurzelkriterium hingekriegt, nun schaffe das zweite nicht. Kannst du mir vielleicht dabei helfen oder ein Tipp geben.

Bei der \((b)\) ist \(a_n=\frac{n!}{n^n}\).

Der Konvergenzradius ist daher der Grenzwert von$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n!}{n^n}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}$$$$\phantom{\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|}=\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}\cdot\cancel{(n+1)}}\cdot\frac{(n+1)^n\cdot\cancel{(n+1)}}{n^n}=\left(1+\frac1n\right)^n\to e$$Der Konvergenzradius ist also gleich der Euler'schen Zahl \(r=e\).

Vielen Dank!!

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