Aloha :)
Bei der Rotation der Funktion$$y(x)=56-\sqrt{52^2-x^2}\quad;\quad x\in[0|26]$$um die \(x\)-Achse entsteht an der Stelle \(x\) ein Kreis mit Radius \(r=y(x)\) und der Fläche \(F=\pi\,r^2\) bzw. \(F=\pi\,y^2(x)\). Zur Volumenbestimmung müssen diese Kreisflächen von \(x=0\) bis \(x=26\) addiert werden:$$V=\int\limits_{0}^{26}\pi\,y^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{0}^{26}\left(56-\sqrt{52^2-x^2}\right)^2dx$$$$\phantom{V}=\pi\int\limits_{0}^{26}\left(56^2-2\cdot56\cdot\sqrt{52^2-x^2}+(52^2-x^2)\right)dx$$$$\phantom{V}=\pi\int\limits_{0}^{26}\left(5840-x^2-112\cdot52\sqrt{1-\left(\frac{x}{52}\right)^2}\right)dx$$$$\phantom{V}=\pi\int\limits_{0}^{26}5840\,dx-\pi\int\limits_{0}^{26}x^2\,dx-5824\pi\int\limits_{0}^{26}\sqrt{1-\left(\frac{x}{52}\right)^2}\,dx$$
Das letzte Integral lösen wir durch Substitution:$$u\coloneqq\frac{x}{52}\quad;\quad \frac{du}{dx}=\frac{1}{52}\implies dx=52\,du\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(26)=\frac12$$$$\int\limits_0^{26}\sqrt{1-\left(\frac{x}{52}\right)^2}\,dx=52\int\limits_0^{1/2}\sqrt{1-u^2}\,du$$Wir substituieren weiter:$$u\eqqcolon\cos v\quad;\quad\frac{du}{dv}=-\sin v\quad;\quad v=\arccos(u)\implies v(0)=\frac\pi2\;;\;v(1/2)=\frac\pi3$$$$\int\limits_0^{1/2}\sqrt{1-u^2}\,du=\int\limits_{\pi/2}^{\pi/3}\sqrt{1-\cos^2v}\cdot(-\sin v)\,dv=-\int\limits_{\pi/2}^{\pi/3}\sin^2v\,dv$$$$\phantom{\int\limits_0^{1/2}\sqrt{1-u^2}\,du}=\int\limits_{\pi/3}^{\pi/2}\left(\frac12-\frac12\cos(2v)\right)dv=\left[\frac{v}{2}-\frac14\sin(2v)\right]_{\pi/3}^{\pi/2}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}$$
Damit berechnen wir \(V\) weiter:$$V=5840\pi\cdot26-\frac{26^3}{3}\pi-5824\pi\cdot52\cdot\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}\right)\approx3541,8220\,\mathrm{VE}$$
