Aber wie bekomme ich die Nullstellen heraus?

Question

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe in letzter Zeit ein paar Probleme mit der quadratischen Ergänzung und der p-q Formel. Ich verstehe einfach nicht , wie ich die nullstellen heraus bekomme. Ich weiß, dass wenn man die quadratische ergänzung nimmt , einen binom erstellt, z.b f(x)= (x -5) ² +6. Aber wie bekomme ich dann die Nullstellen heraus?? Sollte ich dafür die p-q Formel anwenden oder die quadratische Ergänzung? Aber man braucht ja für die p-q Formel eine bestimmte Form und zwar: x²× px+q=0 und dass wird dann ja mit der gleichung: f(x)= (x -5) ² +6 nicht erfüllt?! Also wie kann ich da sonst die nullstellen herausfinden?

Man weiß ja auch , dass ein Wert der nullstellen immer 0 beträgt, soll ich dann (x|0) einsetzen und dann x berechnen? Ich habe echt keine Ahnung und ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

LG

Comments

Danke euch allen, ich habe es endlich wieder verstanden :D

Nur hätte ich da noch eine kleine Frage. Un dzwar wenn die paprabel nach unten geöffnet wäre, gäbe es dann die Nullstellen? Also bei z.b f(x)= -(x-5)+6 ?

Answer 1

Hallo

mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kommt man erst auf die sogenannte pq Formel, sich habt ihr das mal gemacht und du hast es dann vergessen.

x^2+px+q=x^2+2*p/2+(p/2)^2-(p/2)^2+q =(x+p/2)^2 -p^2/4+q

dann (x+p/2)^2 -p^2/4+q=0 -> (x+p/2)^2=p^2/4-q ->

x+p/2=\( \sqrt{p^2/4-q} \)

deine Gleichung (x -5) ² +6=0 führt zu x-5=√-6 also keine reelle Lösung

aber wenn du den Graph der Parabel f(x)=(x -5) ² +6 zeichnen willst siehst du sofort dass (5,6) der Scheitel der Parabel ist und da kein Faktor, bzw 1 vor (x -5) ²  steht, dass es eine verschobene Normalparabel ist, und verstehst, warum es kein Nullstellen gibt.

Wenn man also die pq Formel verwendet , hat man nur auswendig gelernt was bei der quadratischen Ergänzung rauskommt.

lul

Answer 2

Hallo,

dein Beispiel   : f(x)= (x -5) ² +6.     ist eine positive Normalparabel in Scheitelpunktform . das bedeutet S ( 5 | +6)

(daran kann man schon erkennen dass es keine Nullstelle gibt)

um sie in eine Normalform zu" verwandeln" Klammer auflösen

                         f(x) = (x-5)*(x-5) +6

                               = x² -10x +25 +6

                               = x² -10x +31                      mit p= -10 und q= 31

                         0= x² -10x +31

                       x(1,2) = -(-10/2) ± \( \sqrt{(-10/2)² -31} \)

                                   = 5 ±\( \sqrt{25-31} \)

                                   = 5 ± \( \sqrt{-6} \)    nicht lösbar, keine Nullstelle

Answer 3

Wenn die Funktionsgleichung in der sogenannten Scheitellpunktform vorliegt kannst du direkt nach x auflösen

f(x) = (x - 5)^2 + 6 = 0

Hier handelt es sich aber um eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse. Daher gibt es keine Nullstellen.

Allgemein löst man wie folgt auf

f(x) = a·(x - d)^2 + e = 0
a·(x - d)^2 = - e
(x - d)^2 = - e/a
x - d = ± √(- e/a)
x = d ± √(- e/a)

Comments

Nur hätte ich da noch eine kleine Frage. Un dzwar wenn die paprabel nach unten geöffnet wäre, gäbe es dann die Nullstellen? Also bei z.b f(x)= -(x-5)²+6 ?

Ja dann gibt es Nullstellen und du löst es auf wie von mir vorgemacht

f(x) = - (x - 5)² + 6 = 0
- (x - 5)² = - 6
(x - 5)² = 6
x - 5 = ± √6
x = 5 ± √6

Answer 4

(x-5)^2+6= 0

(x-5)^2 = -6

-> keine Nullstellen, weil man aus -6 keine Wurzel ziehen kann.