Beurteilen und begründen Textaufgabe

Question

Text:

Der Querschnitt eines Kanals wird durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = 6-6e^-0,5x +6e^-3x beschreiben. Dabei gilt x doe Länge in Metern in horizentaler Richtung an und f(x) die Länge in Metern in vertikaler Richtung über dem Meeresspiegel. Die Beschreibung des Querschnitts ist für 0<x<5 hinteichend genau. Der Kanal ist 11 einhalb km lang.

Aufgabe:
Der Graben ist bis zur Hälfte seiner Höhe mit Wasser gefüllt. Beurteile begründet, ob er dann mehr oder weniger als 18 Millionen Liter Waser fasst.

Answer 1

Der tiefste Punkt liegt bei ( 0,4 ln(6) ;  2,5)

die Oberkante des Grabens bei etwa 6.

Bis Hälfte gefüllt, wäre also bei etwa 4,25.

f(x)=4,25 gibt die beiden Lösungen x=0,15 und x=2,45.

Die Querschnittsfläche bekommst du also mit dem Integral von 0,15

bis 2,45 über die Funktion 4,25-f(x).

Das gibt mit der Stammfunktion 12e^(-0,5x)-2e^(-3x)+6x

den Wert von etwa 7,5, also 7,5 m^2.

Da er 11,5 km lang ist gibt das ein Volumen

von 7,5m^2 * 11500m = 86250 m^3 .

Comments

7.5 m^2 ist die Fläche unterhalb des Grabens, nicht die Querschnittsfläche. Aber völlig egal, bei 18 Millionen Liter auf 11.5 km macht das eine nötige Querschnittsfläche von ca. 1565 m^2. Das gibt der in halber Höhe gefüllte Graben nicht her, selbst wenn man einfach Höhe (ab Null) mal Breite 6x5 = 30m^2 rechnet. Komische Aufgabe !

Answer 2

Tiefpunkt \((x_t|y_t)\) berechnen.

Hochpunkt \((x_h|y_h)\) berechnen.

Wasserstand \(w = \frac{1}{2}(y_h - y_t)\) berechnen.

Gleichung \(f(x) = w\) lösen um die Stellen \(x_0\) und \(x_1\) zu berechnen, an denen das Wasser auf das Ufer trifft.

Die Wassermenge in Kubikmetern im Kanal beträgt

        \(11500\cdot \int\limits_{x_0}^{x_1}\left(w - f(x)\right)\mathrm{d}x\)

Answer 3

Gesucht ist im ersten Schritt die blaue Fläche:

Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, muss man die Schnittstellen der Graphen von f(x) und y=4,25 bestimmen. Dies gelingt nur mit einem Näherungsverfahren. Manche GTR geben Näherungswerte der Schnitt an.