In \( \mathbb{R}^{3} \) (mit euklidischer Metrik) seien die Mengen
\( \begin{aligned} S &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}>42\right\} \\ T &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+42 y^{2}-z^{2}=42\right\} \\ W &:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2022 x^{2}+y^{2}+42 z^{2} \in[42,2022]\right\} \end{aligned} \)
gegeben. Untersuchen Sie die Mengen \( S, T \) und \( W \) auf Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit.
Das ist die Aufgabe. Wir haben alle Begriffe in der Vorlesung definiert und behandelt (auch den Satz von Heine-Borel, der hier im \( \mathbb{R}^{3} \) helfen könnte). Trotzdem fällt es mir schwer einen ersten Ansatz zu finden. Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe.