Du hast die Ableitung von u = a x + b falsch berechnet. Es ist
u ' = a
und nicht u ' = x
Die Ableitung v ' = e x ist aber korrekt.
Nun also Produktregel:
f ' ( x ) = a * e x + ( a x + b ) * e x
= ( a + a x + b ) * e x
= ( a ( x + 1 ) + b ) * e x
Zur Bestimmung der beiden Parameter a und b benötigt man zwei Gleichungen. Diese ergeben sich aus der Aufgabenstellung. Zum einen muss der Funktionswert von f an der Stelle x = 1 gleich e sein, denn der Berührpunkt ist gleichzeitig ein Punkt des Graphen der Funktion f und der Geraden y = e
f ( 1 ) = e
<=> ( a * 1 + b ) * e 1 = e
<=> a + b = 1
Außerdem müssen die Ableitung sowohl der Geraden also auch der Funktion f ( x ) übereinstimmen, sonst ist der Berührpunkt in Wahrheit ein Schnittpunkt. Also:
f ' ( 1 ) = g ' ( 1 )
f ' haben wir schon bestimmt, und g ' = 0 an jeder Stelle, da g eine horizontale Gerade ist. Also:
f ' ( 1 ) = 0
<=> ( a ( 1 + 1 ) + b ) * e 1 = 0
<=> ( 2 a + b ) * e = 0
Das Gleichungssystem aus den beiden fett gesetzten Gleichungen muss nun gelöst werden. Aus der ersten Gleichung ergibt sich:
a = 1 - b
Einsetzen in die zweite Gleichung:
( 2 ( 1 - b ) + b ) * e = 0
<=> ( 2 - b ) * e = 0
<=> 2 - b = 0
<=> b = 2
Damit ergibt sich für a:
a = 1 - b = 1 - 2 = - 1
Also lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
f ( x ) = ( a x + b ) e x
= ( - 1 x + 2 ) e x
= ( 2 - x ) e x
Hier der Graph der beiden Funktionen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+2+-+x+%29+*+e^x+%2C+e