Aloha :)
$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2\sin\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]0 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$
Zur Vorbereitung betrachten wir:$$\left|\sin\frac1x\right|\le1\implies\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\implies-|x|\le x\sin\frac1x\le |x|\implies$$$$0=\lim\limits_{x\to0}(-|x|)\le\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)\le\lim\limits_{x\to0}|x|=0\implies\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)=0$$
Nun zeigen wir, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1x-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\left(x\sin\frac1x\right)\stackrel{(\text{s.o.})}{=}0$$
Der Grenzwert an der Stelle \(0\) existiert und ist gleich \(0\), also ist \(f'(0)=0\).