Zeigen Sie dass dann gilt:

Question

Aufgabe:

Sei (a;b;c;d) ein Sehnenviereck mit Diagonalen e und f und sei s=(a+b+c+d)/(2)
2 . Zeigen Sie dass dann gilt:

(b) sin(α)=2\( \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)/(ad+bc)

(c) tan(α2)=\( \sqrt{(s−a)(s−d)(s−b)(s−c)} \)

(d) tan(θ2)=\( \sqrt{(s−b)(s−d)(s−a)(s−c)} \) ,wobei θ=∠e⋅f ist.

Als einen Hinweis habe ich noch bekommen:
Zeigen Sie in (d) zunächst, dass 2cos(θ)e⋅f=−a^2+b^2−c^2+d^2
gilt. Benutzen Sie dann den Satz des Ptolemäus um die Behauptung zu folgern.

Problem/Ansatz:

Ich hänge leider schon ein bisschen länger an diesen Aufgaben, wobei ich glaube das gerade (b) nicht soo schwer ist und ich nur nen Denkfehler oder sowas habe. Somit wurde ich mich sehr freuen wenn mir jemand mit den Aufgaben helfen könnte.

Answer 1

a) Benutze den cos-Satz für die Diagonale BD=x . Dann ist

im Dreieck BCD wegen γ=180°-α (Sehnenviereck !)

x^2 = b^2+c^2-2bc*cos(180°-α)   und im Dreieck ABC gilt dann

x^2 = a^2+d^2-2ad*cos(α) .

Gleichsetzen und auflösen nach cos(α)   [Beachte  -cos(α) =(180°-α)]

ergibt    cos(α)= \( \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(bc+ad)}  \)

Wegen cos^2(α)+sin^2(α)=1 hast du sin^2(α)=1- cos^2(α)

also sin^2(α)=1- \( ( \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(bc+ad)} )^2 \) ##

In der gegebenen Formel sind ja die Ausdrücke s-a und s-b etc.

immer auf die Form zu bringen \( s-a = \frac{-a+b + c+d}{2}  \)

und \( s-b = \frac{a-b + c+d}{2}  \)   etc.   #

Außerdem kann man die gegebene Formel noch quadrieren und hat

sin^2(α)=\(  \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2} \)  

und dann die Ergebnisse von # einsetzen gibt

sin^2(α)=\(  \frac{4 \frac{-a+b + c+d}{2} \cdot\frac{a-b + c+d}{2} \cdot\frac{a+b - c+d}{2} \cdot\frac{a+b + c-d}{2}}{(ad+bc)^2)} \)

Vergleich von diesem mit ## zeigt, dass man nur nachrechnen muss, dass gilt

\( 1- ( \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(bc+ad)} )^2 =  \frac{4 \frac{-a+b + c+d}{2} \cdot\frac{a-b + c+d}{2} \cdot\frac{a+b -c+d}{2} \cdot\frac{a+b + c-d}{2}}{(ad+bc)^2} \)

<=> \( (bc+ad)^2-  \frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4}  =  4 \frac{-a+b + c+d}{2} \cdot\frac{a-b + c+d}{2} \cdot\frac{a+b - c+d}{2} \cdot\frac{a+b + c-d}{2}\)

Alles mal 4 gibt

<=> \( 4(bc+ad)^2- (a^2+d^2-b^2-c^2)^2 \)
\(= (-a+b + c+d) \cdot(a-b + c+d)(a+b - c+d)(a+b + c-d)\)

und wenn man sich beim Auflösen der Klammern nicht vertut, passt das auch.

Also hat man die Formel für sin^2(α) bewiesen. Es hätte in der Aufgabe stehen müssen, dass man die Ecken so bezeichnet, dass α kein stumpfer Winkel ist (muss es ja geben),

dann ist die Wurzel aus dem Ganzen wirklich gleich sin(α).