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Aufgabe:

Für jedes n ∈ ℕ sei fn : [0, 1] → [0, +∞) eine monoton wachsende Funktion. Weiter gelte
lim n→∞ fn(1) = 0.
Zeigen Sie: (fn)n∈ℕ konvergiert auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre erst zu prüfen ob (fn) punktweise konvergiert:

lim n→∞ fn(x) = f(x) 
Aber danach weiß ich nicht weiter, wie man dies überprüft. Der Schritt nachdem man die punktweise Konvergenz überprüft hat, wäre lim sup |fn(x) - f(x)| = 0 zu prüfen. Auch hier weiß ich nicht weiter. Wäre für Hilfe dankbar.

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\(x \in [0,1] \Rightarrow 0\leq f_n(x)\leq f_n(1)\): Sandwich-Lemma liefert

\(\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0\;\; \forall x\in [0,1]\) ...

Nun denke über das Supremum von \(|f_n(x)|\) auf dem Intervall \([0,1]\) nach ;-)

Avatar von 29 k

Wegen 0≤fn(x)≤fn(1) ist sup|fn(x)| = fn(1)

Nun kann man die gleichmäßige Konvergenz überprüfen:

lim sup |fn(x)-f(x)| = lim sup |fn(x) - 0| = lim sup |fn(x)|
Wegen der Monotonie und sup|fn(x)| = fn(1) folgt:
lim sup |fn(x)| = 0

Liege ich richtig?

Ja. Das finde ich auch !

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