Aloha :)
Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x)=\sqrt x-x+\frac14x^2\quad;\quad x\ge0$$finden wir dort, wo die erste Ableitung veschwindet:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-1+\frac12x\quad\bigg|\cdot2\sqrt x$$$$0=1-2\sqrt x+x\sqrt x=x\sqrt x\,\underbrace{-\,x+x}_{=0}\,\underbrace{-\,\sqrt x-\sqrt x}_{=-2\sqrt x}+1$$$$0=(x\sqrt x-x)+(x-\sqrt x)-(\sqrt x-1)$$$$0=x(\sqrt x-1)+\sqrt{x}(\sqrt x-1)-1\cdot(\sqrt x-1)$$$$0=(x+\sqrt x-1)(\sqrt x-1)$$Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Aus der zweiten Klammer folgt daher sofort \(x_1=1\) als Nullstelle. Bei der ersten Klammer hilft die pq-Formel:$$x+\sqrt x-1=0\implies(\sqrt x)^2+\sqrt x-1=0\stackrel{\text{(pq-Formel)}}{\implies}\sqrt x=-\frac12\pm\sqrt{\frac14+1}$$Wegen \(x\ge0\) kommt nur der Wert \(\sqrt x=-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}\) in Betracht, sodass:$$x_2=\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2=\frac{5-2\sqrt5+1}{4}=\frac{3-\sqrt5}{2}$$
Es gibt also zwei Kandidaten für Extremwerte:\(\quad x_1=1\;;\;x_2=\frac{3-\sqrt5}{2}\)
Wir prüfen die Kandidaten nun mittels der zweiten Ableitung:$$f''(x)=\frac12-\frac{1}{4x^{3/2}}\quad\implies$$$$f''(x_1=1)=\frac14>0\implies\text{Minimum bei }\left(1\bigg|\frac14\right)$$$$f''\left(x_2=\frac{3-\sqrt5}{2}\right)=-\frac{\sqrt5}{4}<0\implies\text{Maximum bei }\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\bigg|\frac{5\sqrt5-9}{8}\right)$$
~plot~ sqrt(x)-x+x^2/4 ; {1|1/4} ; {(3-sqrt(5))/2|(5*sqrt(5)-9)/8} ; [[0|2|0|0,5]] ~plot~
