Aufgabe:
Sei \( A \in \mathbb{C}^{n, n}, c \in \mathbb{C} \) und \( B:=A-c \cdot E_{n} \). Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann diagonalisierbar ist, wenn \( B \) diagonalisierbar ist.
\(A\) diagonalisierbar \(\iff \exists S\in GL(V)\), so dass
\(D=S^{-1}AS\) eine Diagonalmatrix ist.
Dann ist \(S^{-1}BS=S^{-1}AS-cS^{-1}E_nS=D-cE_n\), was
offenbar eine Diagonalmatrix ist.
Ist \(B\) diagonalisierbar, so folgt aus dem Bewiesenen
\(A=B-(-c)E_n\) ist diagonalisierbar.
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